Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + 2y + z - 7

Câu hỏi số 631133:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm thuộc mặt phẳng \((P):x + 2y + z - 7 = 0\) và đi qua hai điểm A(1;2;1), B(2;5;3). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu (S) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt {470} }}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {546} }}{3}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {763} }}{3}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt {345} }}{3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:631133

Phương pháp giải

Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của AB.

Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến của (P) và (Q) dưới dạng tham số. Tham số hoá toạ độ điểm I thuộc d.

Tính bán kính R = IA, tìm GTNN của R.

Giải chi tiết

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của AB => (Q) đi qua \(M\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2};2} \right)\) là trung điểm của AB và có 1 VTPT \(\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {AB} = \left( {1;3;2} \right)\).

=> Phương trình mặt phẳng (Q) là: \(x + 3y + 2z - 16 = 0\).

Gọi I là tâm mặt cầu (S). Do (S) đi qua A, B \( \Rightarrow I \in \left( Q \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( P \right)\\I \in \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \)\(I \in d\) là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y + 2z - 16 = 0}\\{x + 2y + z - 7 = 0}\end{array}} \right.\) .

+ Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - 2}\\{z = 11}\end{array} \Rightarrow C(0; - 2;11) \in d} \right.\).

+ Cho \(x = 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = - 3}\\{z = 12}\end{array} \Rightarrow D(1; - 3;12) \in d} \right.\).

+ Đường thẳng d đi qua C(0;-2;11) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \overrightarrow {CD} \left( {1; - 1;1} \right)\) => Phương trình đường thẳng d là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - t\\z = 11 + t\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( {t; - 2 - t;11 + t} \right)\).

+ Bán kính \(R = IA = \sqrt {{{(1 - t)}^2} + \left( {4 + {t^2}} \right) + {{(10 + t)}^2}} = \sqrt {3\left( {{{\left( {t + \dfrac{{13}}{3}} \right)}^2} + \dfrac{{82}}{9}} \right)} \ge \dfrac{{\sqrt {546} }}{3}\) khi \(t = - \dfrac{{13}}{3}\).

Vậy \({R_{\min }} = \dfrac{{\sqrt {546} }}{3}\) khi \(t = - \dfrac{{13}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.