Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ - 20;20]\) để bất phương trình \({\log _3}{x^2} +
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ - 20;20]\) để bất phương trình \({\log _3}{x^2} + m\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + m + 1 \le 0\) có không quá 20 nghiệm nguyên?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{{\log }_3}{x^3} \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{x^3} \ge 1}\end{array} \Leftrightarrow x \ge 1} \right.} \right.\).
Ta có:
\({\log _3}{x^2} + m\sqrt {{{\log }_3}{x^3}} + m + 1 \le 0 \Leftrightarrow 2{\log _3}x + m\sqrt {3{{\log }_3}x} + m + 1 \le 0\).
Đặt \(\sqrt {3{{\log }_3}x} = t\,\,\,(t \ge 0) \Rightarrow {\log _3}x = \dfrac{{{t^2}}}{3}\).
Bất phương trình đã cho trở thành: \(\dfrac{2}{3}{t^2} + mt + m + 1 \le 0 \Leftrightarrow 3m \le \dfrac{{ - 2{t^2} - 3}}{{t + 1}}\).
Xét hàm số \(f(t) = \dfrac{{ - 2{t^2} - 3}}{{t + 1}}\) trên \([0; + \infty )\) ta có:
\(f'(t) = \dfrac{{ - 4t.\left( {t + 1} \right) - \left( { - 2{t^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{t^2} - 4t + 3}}{{{{(t + 1)}^2}}}\).
Giải phương trình \(f'(t) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \dfrac{{ - 2 - \sqrt {10} }}{2}\,\,(ktm)}\\{t = \dfrac{{ - 2 + \sqrt {10} }}{2}\,\,\,(tm)}\end{array}} \right.\).
Bảng biến thiên:
Ta có \(4 - 2\sqrt {10} \approx - 2,32\).
Do \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow \) Với \(m = - 3\) thì bất phương trình có 2 nghiệm t.
=> Để bất phương trình đã cho có không có 20 nghiệm nguyên x thì
\(\begin{array}{l}3m \ge \dfrac{{ - 2{{\left[ {t\left( {21} \right)} \right]}^2} - 3}}{{\left[ {t\left( {21} \right)} \right] + 1}} = \dfrac{{ - 2.3{{\log }_3}\left( {21} \right) - 3}}{{\sqrt {3{{\log }_3}\left( {21} \right)} + 1}}\\ \Leftrightarrow m \ge - 1,685\end{array}\)
Kết hợp điều kiện \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 20;20} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;...;20} \right\}\).
Vậy có 22 giá trị nguyên m thoả mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
