Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn

Câu hỏi số 632497:

Vận dụng

Giả sử hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) và thỏa mãn \(f(1) = 1\), \(f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \), với mọi \(x > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. \(3 < f(5) < 4\).

B. \(1 < f(5) < 2\).

C. \(4 < f(5) < 5\).

D. \(2 < f(5) < 3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632497

Phương pháp giải

Biến đổi \(f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\) và lấy nguyên hàm hai vế tìm f(x).

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên \((0; + \infty )\) nên

\(\begin{array}{l}f(x) = f'(x) \cdot \sqrt {3x + 1} \Leftrightarrow \dfrac{{f'(x)}}{{f(x)}} = \dfrac{1}{{\sqrt {3x + 1} }}\\ \Rightarrow \ln (f(x)) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} + C\,\,\left( {do\,\,f\left( x \right) > 0\,\,\forall x > 0} \right)\end{array}\)

Thay x = 1 \( \Rightarrow \ln \left( {f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{2}{3}.2 + C \Leftrightarrow \ln 1 = \dfrac{4}{3} + C \Leftrightarrow C = - \dfrac{4}{3}\)

\( \Rightarrow \ln \left( {f\left( x \right)} \right) = \dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \dfrac{4}{3} \Rightarrow f(x) = {{\rm{e}}^{\dfrac{2}{3}\sqrt {3x + 1} - \dfrac{4}{3}}}\).

Vậy \(f(5) = {{\rm{e}}^{\dfrac{4}{3}}} \approx 3,794 \in (3;4)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.