Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn \(f(x) = x\left[ {\sin x +

Câu hỏi số 632498:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((0; + \infty )\) thỏa mãn \(f(x) = x\left[ {\sin x + {f^\prime }(x)} \right] + \cos x\) và \(f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \dfrac{\pi }{2}\). Giá trị của \(f(\pi )\) bằng

A. \(1 + \dfrac{\pi }{2}\).

B. \( - 1 + \dfrac{\pi }{2}\).

C. \(1 + \pi \).

D. \( - 1 + \pi \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632498

Phương pháp giải

Sử dụng đạo hàm của một thương \(\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\).

Giải chi tiết

Hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \((0; + \infty )\) nên

\(\begin{array}{l}f(x) = x\left[ {\sin x + {f^\prime }(x)} \right] + \cos x \Leftrightarrow xf'(x) - f(x) = - x\sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow \dfrac{{xf'(x) - f(x)}}{{{x^2}}} = \dfrac{{ - x\sin x - \cos x}}{{{x^2}}} \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{f(x)}}{x}} \right)' = \left( {\dfrac{{\cos x}}{x}} \right)' \Leftrightarrow \dfrac{{f(x)}}{x} = \dfrac{{\cos x}}{x} + C\end{array}\)

Thay \(x = \dfrac{\pi }{2}\) ta có: \(\dfrac{{f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)}}{{\dfrac{\pi }{2}}} = \dfrac{{\cos \dfrac{\pi }{2}}}{{\dfrac{\pi }{2}}} + C \Leftrightarrow 1 = C.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{f(x)}}{x} = \dfrac{{\cos x}}{x} + 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = \cos x + x\\ \Rightarrow f\left( \pi \right) = \cos \pi + \pi = - 1 + \pi .\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.