Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \(\sqrt {{x^3} + 1} \left[ {4xf'(1 - x) -

Câu hỏi số 632499:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn \(\sqrt {{x^3} + 1} \left[ {4xf'(1 - x) - f(x)} \right] = {x^5}\). Tích phân \(I = \int_0^1 f (x){\rm{d}}x\) có kết quả dạng \(\dfrac{{a - b\sqrt 2 }}{c},\left( {a,b,c \in {\mathbb{Z}^ + },\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}} \right.\) là phân số tối giản). Giá trị \(T = a - 2b + 3c\) bằng:

A. 89 .

B. 27 .

C. 35 .

D. 81 .

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632499

Phương pháp giải

Thay x = 0 vào giả thiết tìm f(0).

Biến đổi \(\sqrt {{x^3} + 1} \left[ {4xf'(1 - x) - f(x)} \right] = {x^5} \Leftrightarrow 4xf'(1 - x) - f(x) = \dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}\), lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế.

Xét tích phân \(A = \int_0^1 4 xf'(1 - x){\rm{d}}x\), sử dụng phương pháp tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv} = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

Xét tích phân \(B = \int_0^1 {\dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \;{\rm{d}}x\), sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \).

Giải chi tiết

Thay \(x = 0\) vào \(\sqrt {{x^3} + 1} \left[ {4xf'(1 - x) - f(x)} \right] = {x^5}\), ta có \(f(0) = 0\).

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{x^3} + 1} \left[ {4xf'(1 - x) - f(x)} \right] = {x^5}\\ \Leftrightarrow 4xf'(1 - x) - f(x) = \dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}\\ \Rightarrow \int_0^1 4 xf'(1 - x){\rm{d}}x - \int_0^1 f (x){\rm{d}}x = \int_0^1 {\dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \;{\rm{d}}x\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) Xét tích phân \(A = \int_0^1 4 xf'(1 - x){\rm{d}}x\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 4x\\dv = f'\left( {1 - x} \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 4dx\\v = - f\left( {1 - x} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left. { - 4xf\left( {1 - x} \right)} \right|_0^1 + 4\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \\ \Rightarrow A = - 4f\left( 0 \right) + 4\int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 4\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} x)\end{array}\)

+) Xét tích phân \(B = \int_0^1 {\dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \;{\rm{d}}x = \int_0^1 {\dfrac{{{x^3}.{x^2}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \;{\rm{d}}x\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^3} + 1} \Leftrightarrow {t^2} = {x^3} + 1 \Rightarrow 2tdt = 3{x^2}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int_0^1 {\dfrac{{{x^5}}}{{\sqrt {{x^3} + 1} }}} \;{\rm{d}}x = \dfrac{2}{3}\int_1^{\sqrt 2 } {\left( {{t^2} - 1} \right)} {\rm{d}}t = \left. {\dfrac{2}{3}\left( {\dfrac{{{t^3}}}{3} - t} \right)} \right|_1^{\sqrt 2 } = \dfrac{{4 - 2\sqrt 2 }}{9}.\)

Thay A, B vào (*)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4\int_0^1 f (x){\rm{d}}x - \int_0^1 f (x){\rm{d}}x = \dfrac{{4 - 2\sqrt 2 }}{9}\\ \Leftrightarrow 3\int_0^1 f (x){\rm{d}}x = \dfrac{{4 - 2\sqrt 2 }}{9} \Leftrightarrow \int_0^1 f (x){\rm{d}}x = \dfrac{{4 - 2\sqrt 2 }}{{27}}\\ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 4}\\{b = 2}\\{c = 27}\end{array} \Rightarrow T = a - 2b + 3c = 81.} \right.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.