Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O,\,\,AC = 2a,\,\,BD = 2a\sqrt 3 \). Hình chiếu

Câu hỏi số 632523:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O,\,\,AC = 2a,\,\,BD = 2a\sqrt 3 \). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của \(OB\). Biết tam giác \(SBD\) vuông tại \(S\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(SB\) là?

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{3a}}{8}\).

C. \(\dfrac{{3a}}{2}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632523

Giải chi tiết

Tính \(d\left( {AC;SB} \right)\):

+ Bước 1: Chọn \(\left( {SOB} \right)\) chứa \(SB\) và \(\left( {SOB} \right) \bot AC\)

+ Bước 2: Tìm giao điểm \(\left( {SOB} \right) \cap AC = \left\{ O \right\}\)

+ Bước 3: Từ \(O,\) dựng \(OK \bot SB \Rightarrow OK = d\left( {AC;SB} \right)\)

Tính \(OK\):

\(BH = HO = \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{1}{4}.2a\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow HD = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}\)

\(\Delta SBD\) vuông cân tại \(S\), \(O\) là trung điểm \(BD \Rightarrow SO = OB = OD = \dfrac{1}{2}BD = a\sqrt 3 \)

\(\Delta SHO\) vuông tại \(H \Rightarrow SH = \sqrt {S{O^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a}}{2}\)

Dựng \(HM \bot SB\,\,\,\left( {M \in SB} \right)\) \( \Rightarrow HM||OK\)

\(\Delta SBH\) vuông tại \(H,\,\,HM \bot SB \Rightarrow \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{16}}{{9{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HM = \dfrac{{3a}}{4}\). \(HM\) là đường trung bình \(\Delta BOK \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}OK \Rightarrow OK = \dfrac{{3a}}{2}\)

Vậy \(d\left( {AC;SB} \right) = \dfrac{{3a}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.