Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AD\).

Câu hỏi số 632524:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\). Gọi \(M,N\) là trung điểm của \(AB,AD\). Cho \(CN\) giao \(DM\) tại điểm \(H\). Biết rằng \(SH\) vuông góc với đáy. \(SH = a\sqrt 3 \).Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(DM\) và \(SC\)?

A. \(\dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt {57} }}{{38}}\).

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{19}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632524

Giải chi tiết

Tính \(d\left( {DM;SC} \right)\):

+ Bước 1: Chọn \(\left( {SHC} \right)\) chứa \(SC\) và \(\left( {SHC} \right) \bot DM\)

+ Bước 2: Tìm giao điểm \(DM \cap \left( {SHC} \right) = \left\{ H \right\}\)

+ Bước 3: Dựng \(HK \bot SC \Rightarrow HK = d\left( {DM;SC} \right)\)

Tính \(HK\):

\(\Delta ADM = \Delta DCN\,\,\,\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \angle DMA = \angle CND \Rightarrow DM \bot CN\)

Trong \(\Delta CDN\) vuông tại \(D,\,\,DH \bot CN\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CN = \sqrt {D{C^2} + D{N^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\\C{D^2} = CH.CN \Rightarrow CH = \dfrac{{C{D^2}}}{{CN}} = \dfrac{{{a^2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.\)

\(\Delta SHC\) vuông tại \(H,\,\,HK \bot SC \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}} = \dfrac{{19}}{{12{a^2}}}\)

\( \Rightarrow HK = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}} \Rightarrow d\left( {DM;SC} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.