Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\),

Câu hỏi số 632557:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)\), đường thẳng \(SC\) tạo với mặt phẳng đáy góc \({45^0}\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(AC\)?

A. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

B. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}\).

D. \(a\sqrt {10} \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632557

Giải chi tiết

Tính \(d\left( {SB;AC} \right)\). Kẻ \(BE\) song song và bằng \(AC\)

+ Chọn mặt phẳng \(\left( {SBE} \right)\) chứa \(SB\) và song song với \(AC\)

+ Đổi khoảng cách: \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

+ Tính \(d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

Ta kẻ: \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BE\,\,\,\left( {M \in BE} \right)\\AH \bot SM\,\,\,\left( {H \in SM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)

Ta có: \(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {45^0}\)

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 \)

\(\left\{ \begin{array}{l}BE||AC\\BE = AC\end{array} \right. \Rightarrow AEBC\) là hình bình hành \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE = AC = a\sqrt 2 \\AE = BC = a\\\angle BAE = \angle ABC = {90^0}\end{array} \right.\)

Trong \(\Delta ABE\) vuông tại \(A,\,\,AM \bot BE\) có:

\(\dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{A{E^2}}} + \dfrac{1}{{A{B^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow A{M^2} = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Trong \(\Delta SAM\) vuông tại \(A,\,\,AH \bot SM\) ta có:

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{5}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

\( \Rightarrow d\left( {SB;AC} \right) = AH = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.