Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB = 2a,\,\,AD = DC = CB = a,\,\,SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 632561:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thang, \(AB = 2a,\,\,AD = DC = CB = a,\,\,SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 3a\) (như hình vẽ).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB\) và \(DM\) bằng?

A. \(\dfrac{{3a}}{4}\).

B. \(\dfrac{{3a}}{2}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt {13} a}}{{13}}\).

D. \(\dfrac{{6\sqrt {13} a}}{{13}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632561

Giải chi tiết

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}CD = BM = a\\CD||BM\end{array} \right. \Rightarrow BCDM\) là hình bình hành \( \Rightarrow DM||BC\)

Tính \(d\left( {DM;SB} \right)\)

+ Chọn \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SB\) và song song với \(DM\)

+ Đổi khoảng cách: \(d\left( {DM;SB} \right) = d\left( {DM;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\)

+ Tính \(d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Tính \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\):

Dựng \(AH \bot SC\,\,\,\left( {H \in SC} \right) \Rightarrow AH = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AM = DC = a\\CD||AM\end{array} \right. \Rightarrow ADCM\) là hình bình hành \( \Rightarrow DM||BC\)

\( \Rightarrow CM = AD = a \Rightarrow CM = AM = MB = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(C\)

\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} - B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \)

Xét \(\Delta SAC\) vuông tại \(A,\,\,AH \bot SC \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {3a} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}}\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{3a}}{2} \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{3a}}{2}\)

Nối \(AM \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ B \right\} \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{MB}} = \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {DM;SM} \right) = d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{2}}}{2} = \dfrac{{3a}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.