Cho tứ diện đều \(ABCD\). Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)?

Câu 632612: Cho tứ diện đều \(ABCD\). Tính côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\)?

A. \(\dfrac{{2\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\dfrac{2}{3}\).

C. \(\dfrac{1}{3}\).

D. \(2\sqrt 2 \).

Câu hỏi : 632612

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\)
Do \(\Delta ABC,BCD\) đều \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\DH \bot BC\end{array} \right.\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BC\\AH \subset \left( {ABC} \right)\,;\,\,AH \bot BC\\DH \subset \left( {BCD} \right)\,;\,\,DH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left[ {\left( {ABC} \right);\left( {BCD} \right)} \right] = \angle \left( {AH;DH} \right)\)
Tam giác \(ABC,BCD\) đều cạnh \(a \Rightarrow AH = DH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Áp dụng định lý Cosin trong tam giác \(ADH\):
\(\cos \angle AHD = \dfrac{{A{H^2} + H{D^2} - A{D^2}}}{{2AH.HD}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {a^2}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{1}{3}\)
Vậy \(\cos \left( {\left( {ABC} \right);\left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.