Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết các cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) khi đó \(\tan \varphi \) bằng?

Câu 632613: Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết các cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) khi đó \(\tan \varphi \) bằng?

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Câu hỏi : 632613

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Kẻ \(OH \bot SC\).
Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều và \(ABCD\) là hình vuông nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow BD \bot SO\). Mà \(BD \bot AC \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)
Mà \(OH \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right) \Rightarrow HD \bot SC\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\OH \subset \left( {SAC} \right)\,;\,\,\,OH \bot SC\\HD \subset \left( {SCD} \right)\,;\,\,HD \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAC} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {OH;HD} \right) = \angle OHD\)
\(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH \Rightarrow \Delta OHD\) vuông tại \(O \Rightarrow \tan OHD = \dfrac{{OD}}{{OH}}\)
\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow OA = OC = OD = OB = a\)
Trong hình chóp đều \(S.ABCD\), cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\) nên \(\angle SAC = {60^0}\)
\( \Rightarrow SO = OA.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)
\(\Delta SOC\) vuông tại \(O\) có \(OH \bot SC\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
\( \Rightarrow \tan \angle OHD = \dfrac{{OD}}{{OH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.