Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết các cạnh bên

Câu hỏi số 632613:

Vận dụng

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \), biết các cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) khi đó \(\tan \varphi \) bằng?

A. \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{3}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{7}\).

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632613

Giải chi tiết

Kẻ \(OH \bot SC\).

Do \(S.ABCD\) là hình chóp đều và \(ABCD\) là hình vuông nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow BD \bot SO\). Mà \(BD \bot AC \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SC\)

Mà \(OH \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {BHD} \right) \Rightarrow HD \bot SC\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SC\\OH \subset \left( {SAC} \right)\,;\,\,\,OH \bot SC\\HD \subset \left( {SCD} \right)\,;\,\,HD \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAC} \right);\left( {SCD} \right)} \right] = \angle \left( {OH;HD} \right) = \angle OHD\)

\(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot OH \Rightarrow \Delta OHD\) vuông tại \(O \Rightarrow \tan OHD = \dfrac{{OD}}{{OH}}\)

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\sqrt 2 \Rightarrow AC = 2a \Rightarrow OA = OC = OD = OB = a\)

Trong hình chóp đều \(S.ABCD\), cạnh bên tạo với đáy một góc \({60^0}\) nên \(\angle SAC = {60^0}\)

\( \Rightarrow SO = OA.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \)

\(\Delta SOC\) vuông tại \(O\) có \(OH \bot SC\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Rightarrow \tan \angle OHD = \dfrac{{OD}}{{OH}} = \dfrac{a}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.