Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 632615:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\), đường thẳng \(SO\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Biết \(AB = SB = a,\,\,SO = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tìm số đo của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\)?

A. \({30^0}\).

B. \({45^0}\).

C. \({90^0}\).

D. \({60^0}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632615

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(SA\)

Ta có: \(AB = SB \Rightarrow \Delta SAB\) cân tại \(B \Rightarrow BH \bot SA\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot SA\)

\( \Rightarrow SA \bot \left( {BHD} \right) \Rightarrow SA \bot HD\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\\BH \subset \left( {SAB} \right)\,;\,\,BH \bot SA\\DH \subset \left( {SAD} \right)\,;\,\,DH \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {BH;HD} \right)\)

\(\Delta SOB\) vuông tại \(O \Rightarrow OB = \sqrt {S{B^2} - S{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow BD = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\Delta AOB\) vuông tại \(O \Rightarrow OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\(\Delta SOA\) vuông tại \(O \Rightarrow SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Rightarrow HA = HS = \dfrac{1}{2}SA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(\Delta ABH\) vuông tại \(H \Rightarrow BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có \(\Delta SBD\) cân tại \(S \Rightarrow SD = SB \Rightarrow HB = HD = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}H{B^2} + H{D^2} = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{9}\\B{D^2} = {\left( {\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{12{a^2}}}{9}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta BHD\) vuông tại \(H\)

\( \Rightarrow \angle BHD = {90^0} \Rightarrow \angle \left[ {\left( {SAB} \right);\left( {SAC} \right)} \right] = \angle \left( {BH;HD} \right) = {90^0}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.