Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ

Câu hỏi số 632795:

Vận dụng

Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sông 2 km, anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sông, B các vị trí O trên bờ gần với thuyền nhất là 4 km (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền với vận tốc 6 km/h và chạy bộ trên bờ với vận tốc 10 km/h. Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là:

A. 40 phút.

B. 44 phút.

C. 30 phút.

D. 38 phút.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632795

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số về thời gian anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B.

Giải chi tiết

Giả sử \(OP = x\,\,\left( {km,\,\,x \in \left[ {0;4} \right]} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}PB = 4 - x\,\,\left( {km} \right)\\AP = \sqrt {4 + {x^2}} \,\left( {km} \right)\end{array} \right.\).

Thời gian anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{6} + \dfrac{{4 - x}}{{10}}\).

\(f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{6\sqrt {{x^2} + 4} }} - \dfrac{1}{{10}} = \dfrac{{5x - 3\sqrt {{x^2} + 4} }}{{30\sqrt {{x^2} + 4} }}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3\sqrt {{x^2} + 4} = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 4} = 5x \Leftrightarrow 9{x^2} + 36 = 25{x^2} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow x = \dfrac{3}{2}\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 4} }}{6} + \dfrac{{4 - x}}{{10}}\) liên tục trên \(\left[ {0;4} \right]\), có: \(f\left( 0 \right) = \dfrac{{16}}{{15}},f\left( { \dfrac{3}{2}} \right) = \dfrac{2}{3},f\left( 4 \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{2}{3}\) khi \(x = \dfrac{3}{2}\).

Khoảng thời gian ngắn nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: 40 phút.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.