Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) không âm thỏa mãn điều kiện \(f\left( x \right)f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 632797:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) không âm thỏa mãn điều kiện \(f\left( x \right)f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \) và \(f\left( 0 \right) = 0\). Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),y = 0,x = 0,x = 3\) quanh trục \(Ox\) bằng

A. \( \dfrac{{333}}{5}\).

B. \( \dfrac{{333}}{5}\pi \).

C. \( \dfrac{{127089\pi }}{{35}}\).

D. \( \dfrac{{\left( {11\sqrt {11} - 2\sqrt {11} } \right)}}{3}\pi \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632797

Phương pháp giải

Nguyên hàm tìm hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right) \).
Cho hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right) \) liên tục trên [a; b]. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi đồ thị số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}f\left( x \right) \) và hai đường thẳng \(x{\rm{ }} = {\rm{ }}a;{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}b \)khi quay quanh trục Ox là:

\(V = \;\pi \int_a^b {{f^2}(x)dx} \).

Giải chi tiết

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) không âm thỏa mãn điều kiện \(f\left( x \right)f'\left( x \right) = 2x\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} \).

\( \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }} = 2x \Rightarrow \int { \dfrac{{f\left( x \right)f'\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }}} dx = \int {2x} dx \Leftrightarrow \int { \dfrac{1}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} }}} d\left( {{f^2}\left( x \right) + 1} \right) = {x^2} + C\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = {x^2} + C\).

\(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \sqrt {0 + 1} = 0 + C \Leftrightarrow C = 1 \Rightarrow \)\(\sqrt {{f^2}\left( x \right) + 1} = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) + 1 = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} \Rightarrow f\left( x \right) = \sqrt {{x^4} + 2{x^2}} \) (do \(y = f\left( x \right)\) không âm).

Thể tích khối tròn xoay thu được là: \(V = \;\pi \int_0^3 {\left( {{x^4} + 2{x^2}} \right)dx = } \)\( \dfrac{{333}}{5}\pi \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.