Cho \(\int\limits_0^{ \dfrac{\pi }{3}} { \dfrac{{x\sin xdx}}{{2{{\cos }^3}x}}} = a\pi + b\sqrt 3 \) với

Câu hỏi số 632798:

Vận dụng

Cho \(\int\limits_0^{ \dfrac{\pi }{3}} { \dfrac{{x\sin xdx}}{{2{{\cos }^3}x}}} = a\pi + b\sqrt 3 \) với \(a,b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của \(a + b\) bằng

A. \( \dfrac{1}{{12}}\).

B. \( \dfrac{7}{{12}}\).

C. \( \dfrac{5}{6}\).

D. \( - \dfrac{1}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632798

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_0^{ \dfrac{\pi }{3}} { \dfrac{{x\sin xdx}}{{2{{\cos }^3}x}}} \):

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = \dfrac{{\sin xdx}}{{2{{\cos }^3}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = \int { \dfrac{{\sin xdx}}{{2{{\cos }^3}x}}} = - \int { \dfrac{{d\cos x}}{{2{{\cos }^3}x}}} = \dfrac{1}{{4{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \).

\( \Rightarrow I = \left. {x. \dfrac{1}{{4{{\cos }^2}x}}} \right|_0^{ \dfrac{\pi }{3}} - \int\limits_0^{ \dfrac{\pi }{3}} { \dfrac{1}{{4{{\cos }^2}x}}dx} = \left. {\left( {x. \dfrac{1}{{4{{\cos }^2}x}} - \dfrac{1}{4}\tan x} \right)} \right|_0^{ \dfrac{\pi }{3}} = \left( { \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) - 0 = \dfrac{\pi }{3} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow a = \dfrac{1}{3},b = - \dfrac{1}{4}\).

\( \Rightarrow a + b = \dfrac{1}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.