Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2023\) và \({\log _2}\left( {2x +

Câu hỏi số 632800:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \(0 \le x \le 2023\) và \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x = 2y + {4^y}\)?

A. 2022.

B. 6.

C. 2023.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632800

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: \({\log _2}\left( {2x + 2} \right) + x = 2y + {4^y} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) + x + 1 = 2y + {2^{2y}}\) (1)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t:\) đồng biến trên R.

Khi đó: (1) \( \Leftrightarrow f\left( {{{\log }_2}\left( {x + 1} \right)} \right) = f\left( {2y} \right) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + 1} \right) = 2y\).

Mà \(0 \le x \le 2023\)\( \Rightarrow 0 \le {\log _2}\left( {x + 1} \right) \le {\log _2}2024 \Rightarrow 0 \le 2y \le {\log _2}2024 \Rightarrow 0 \le y \le \dfrac{1}{2}{\log _2}2024 \approx 5,5\).

\( \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Mỗi giá trị của y vừa tìm được, ta được đúng 1 giá trị của x : \(x = {2^{2y}} - 1 \in \mathbb{Z}\).

Vậy có tất cả 6 cặp số nguyên \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.