Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right),C\left( {2; - 1;0}

Câu hỏi số 632802:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho 3 điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right),C\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\), điểm \(N\) thay đổi trên mặt cầu \(\left( S \right)\). Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = N{A^2} + N{B^2} + 3N{C^2}\). Giá trị \(M - m\) bằng

A. 125.

B. 120.

C. 80.

D. 85.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632802

Phương pháp giải

Gọi I là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \). Tìm I.

Dựa vào tính chất vec tơ, biến đổi biểu thức \(P = N{A^2} + N{B^2} + 3N{C^2}\) theo điểm I.

Tìm vị trí của N để P min, P max.

Giải chi tiết

Gọi I(a;b;c) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - a + 3 - a + 3\left( {2 - a} \right) = 0\\4 - b + 4 - b + 3\left( { - 1 - b} \right) = 0\\5 - c + 0 - c + 3\left( {0 - c} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = 1\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)\).

Ta có: \(P = N{A^2} + N{B^2} + 3N{C^2} = {\overrightarrow {NA} ^2} + {\overrightarrow {NB} ^2} + 3{\overrightarrow {NC} ^2} = {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {NI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} = N{I^2} + 2.\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2} + N{I^2} + 2.\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2} + 3N{I^2} + 6\overrightarrow {NI} .\overrightarrow {IC} + 3I{C^2}\\ = 5N{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} + 2.\overrightarrow {NI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right)\\ = 5N{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\end{array} \)

Mà \(I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} = 52 = const \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{P_{\max }} = M \Leftrightarrow N{I_{\max }}\\{P_{\min }} = m \Leftrightarrow N{I_{\min }}\end{array} \right. \).

Mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 4\) có tâm \(J\left( {1; - 1;3} \right),R = 2\).

Ta thấy: \(IJ = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} = 3 > R \Rightarrow I\) nằm ngoài (S).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N{I_{\min }} = IJ - R = 1\\N{I_{\max }} = IJ + R = 5\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow m = {5.1^2} + 52 = 57,\,\,M = {5.5^2} + 52 = 125 + 52 = 177 \Rightarrow M - m = 120\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.