Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f'\left( {2023} \right) = 0\)

Câu hỏi số 632803:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết rằng \(f'\left( {2023} \right) = 0\) và \(f''\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R}\). Xét hàm số trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. \(h\left( 1 \right) - h\left( 2 \right) > 0\).

B. \(h\left( 2 \right) - h\left( 3 \right) < 0\).

C. \(h\left( { \dfrac{\pi }{2}} \right) - h\left( { \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\).

D. \(h\left( { \dfrac{\pi }{6}} \right) - h\left( { \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632803

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{{\cot }^2}x - 2\cot x + 2024} \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f''\left( x \right) < 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow y = f'\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow f'\left( x \right) \le f'\left( {2023} \right),\forall x \in \left[ {2023; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow f'\left( x \right) \le 0,\forall x \in \left[ {2023; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{{\cot }^2}x - 2\cot x + 2024} \right)\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\), có :

\(h'\left( x \right) = f'\left( {{{\cot }^2}x - 2\cot x + 2024} \right).\left( {2\cot x - 2} \right). \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Trong đó:

+) \(f'\left( {{{\cot }^2}x - 2\cot x + 2024} \right) = f'\left( {{{\left( {\cot x - 1} \right)}^2} + 2023} \right) \le 0,\forall x \in \left( {0;\pi } \right)\).

\(f'\left( {{{\left( {\cot x - 1} \right)}^2} + 2023} \right) = 0 \Leftrightarrow \cot x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

+) \(2\cot x - 2 = 0 \Leftrightarrow \cot x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

+) \( \dfrac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} < 0,\forall x \in \)\(\left( {0;\pi } \right)\).

\( \Rightarrow h'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \)\(\left( { \dfrac{\pi }{4};\pi } \right)\), \(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4}\).

\( \Rightarrow h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { \dfrac{\pi }{4};\pi } \right)\).

Khi đó: \(h\left( { \dfrac{\pi }{2}} \right) > h\left( { \dfrac{\pi }{4}} \right)\,\,hay\,\,h\left( { \dfrac{\pi }{2}} \right) - h\left( { \dfrac{\pi }{4}} \right) > 0\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.