Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left(

Câu hỏi số 634440:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\,\,\forall x \in \mathbb{R},\) \(f\left( 0 \right) = 0\). Tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \).

A. \( - \dfrac{\pi }{4}\).

B. \(\dfrac{1}{4}\).

C. \(\dfrac{\pi }{4}\).

D. \( - \dfrac{1}{4}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634440

Phương pháp giải

Chứng minh \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Lấy tích phân từ 0 đến \(\dfrac{\pi }{2}\) hai vế phương trình \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x\). Tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Sử dụng tích phân từng phần tính \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} \).

Giải chi tiết

Thay \(x = 0\) ta có: \(f\left( 0 \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0.\)

Xét tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} \).

Đặt \(t = \dfrac{\pi }{2} - x \Rightarrow dx = - dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)dx} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^0 {f\left( t \right)\left( { - dt} \right)} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \).

Theo bài ra ta có: \(f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x.\cos x,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {f\left( x \right) + f\left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)} \right)dx} = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} \)

Lại có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin x\cos xdx} = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\sin xd\left( {\sin x} \right)} = \left. {\dfrac{{{{\left( {\sin x} \right)}^2}}}{2}} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{4}\)

Ta có: \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {xf'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( x \right)dx} = - \dfrac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.