Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0\) và ba
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0\) và ba điểm A(2;0;2), B(4;0;4), C(5;2;4). Gọi \(M\) là điểm di động trên \(\left( P \right)\) sao cho có một mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(M\). Khi đó độ dài đoạn \(CM\) có giá trị nhỏ nhất là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi S là giao của đường thẳng AB và (P). Chứng minh: trên (P): điểm M nằm trên đường tròn (C) tâm S bán kính không đổi.
Tìm vị trí của M trên (C) để CM min.
Gọi S là giao của đường thẳng AB và (P). Phương trình đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 0\\z = 2 + t\end{array} \right.\).
Giả sử \(S\left( {2 + t;0;2 + t} \right) \Rightarrow 2 + t - 0 + 2\left( {2 + t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow S\left( {0;0;0} \right)\).
Đồng thời, do MS là tiếp tuyến của (S) nên \(M{S^2} = SA.SB = 2\sqrt 2 .4\sqrt 2 = 16 \Rightarrow MS = 4\).
Vậy, trên (P): điểm M thuộc đường tròn (C) tâm S bán kính \(2\sqrt 2 \).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên (P).
Phương trình đường thẳng CH: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 2 - 2t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\).
Giả sử \(H\left( {5 + t;2 - 2t;4 + 2t} \right) \Rightarrow 5 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) + 2\left( {4 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( {4;4;2} \right)\).
\( \Rightarrow CH = d\left( {C;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {5 - 2.2 + 2.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\).
\( \Rightarrow SH = 6 > 4 \Rightarrow H\) nằm ngoài (C).
Nhận xét: \(CM = \sqrt {C{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} \)
\(C{M_{\min }} \Leftrightarrow M{H_{\min }} = SH - R = 6 - 4 = 2 \Rightarrow C{M_{\min }} = \sqrt {9 + {2^2}} = \sqrt {13} \).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
