Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0\) và ba

Câu hỏi số 634559:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z = 0\) và ba điểm A(2;0;2), B(4;0;4), C(5;2;4). Gọi \(M\) là điểm di động trên \(\left( P \right)\) sao cho có một mặt cầu \(\left( S \right)\) đi qua \(A,B\) và tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại \(M\). Khi đó độ dài đoạn \(CM\) có giá trị nhỏ nhất là

A. \(3\).

B. \(\sqrt {10} \).

C. \(\sqrt {109} \).

D. \(\sqrt {13} \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634559

Phương pháp giải

Gọi S là giao của đường thẳng AB và (P). Chứng minh: trên (P): điểm M nằm trên đường tròn (C) tâm S bán kính không đổi.

Tìm vị trí của M trên (C) để CM min.

Giải chi tiết

Gọi S là giao của đường thẳng AB và (P). Phương trình đường thẳng AB: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 0\\z = 2 + t\end{array} \right.\).

Giả sử \(S\left( {2 + t;0;2 + t} \right) \Rightarrow 2 + t - 0 + 2\left( {2 + t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 2 \Rightarrow S\left( {0;0;0} \right)\).

Đồng thời, do MS là tiếp tuyến của (S) nên \(M{S^2} = SA.SB = 2\sqrt 2 .4\sqrt 2 = 16 \Rightarrow MS = 4\).

Vậy, trên (P): điểm M thuộc đường tròn (C) tâm S bán kính \(2\sqrt 2 \).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên (P).

Phương trình đường thẳng CH: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 2 - 2t\\z = 4 + 2t\end{array} \right.\).

Giả sử \(H\left( {5 + t;2 - 2t;4 + 2t} \right) \Rightarrow 5 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) + 2\left( {4 + 2t} \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Rightarrow H\left( {4;4;2} \right)\).

\( \Rightarrow CH = d\left( {C;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {5 - 2.2 + 2.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2}} }} = 3\).

\( \Rightarrow SH = 6 > 4 \Rightarrow H\) nằm ngoài (C).

Nhận xét: \(CM = \sqrt {C{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {9 + H{M^2}} \)

\(C{M_{\min }} \Leftrightarrow M{H_{\min }} = SH - R = 6 - 4 = 2 \Rightarrow C{M_{\min }} = \sqrt {9 + {2^2}} = \sqrt {13} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.