Cho \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x

Câu hỏi số 634560:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). Tính \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \).

A. \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{2}{{15}}\).

B. \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = - \dfrac{2}{{15}}\).

C. \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{{15}}\).

D. \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = - \dfrac{1}{{15}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634560

Phương pháp giải

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

\(F\left( x \right) = \dfrac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow F'\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = - \dfrac{1}{{{x^3}}} \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{{x^2}}}\).

\( \Rightarrow \int {f\left( x \right)dx} = - \int {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx = \dfrac{1}{x} + C} \).

Xét \(\int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} \).

Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow dt = 2dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 3\\x = 2 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( {2x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_3^5 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_3^5 {f\left( x \right)dx} \\ = \dfrac{1}{2}\left. {F\left( x \right)} \right|_3^5 = \dfrac{1}{2}\left( {F\left( 5 \right) - F\left( 3 \right)} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}} \right) = - \dfrac{1}{{15}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.