Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) đó bất phương trình

Câu hỏi số 634561:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương \(y\) sao cho ứng với mỗi số \(y\) đó bất phương trình \(\dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + x - 4}}{{{3^x} - y}} < 0\) có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 6?

A. \(176\,903\).

B. \(176\,930\).

C. \(176\,910\).

D. \(176\,923\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634561

Phương pháp giải

\(\dfrac{{x - a}}{{x - b}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a < x < b\,\,\,\left( {a < b} \right)\\b < x < a\,\,\,\left( {b < a} \right)\\vo\,\,nghiem\,\,\,\left( {a = b} \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

ĐK : \(y \ne {3^x}\).

Bất phương trình \(\dfrac{{{x^3} - 4{x^2} + x - 4}}{{{3^x} - y}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{3^x} - y}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{x - 4}}{{{3^x} - y}} < 0\) (*).

Ta có : \({3^x} - y = 0 \Leftrightarrow x = {\log _3}y\,\,\left( {y > 0} \right)\).

- Nếu \({\log _3}y < 4 \Leftrightarrow y < {3^4} \Leftrightarrow y < 81\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\log _3}y < x < 4\).

Bất phương trình (*) có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 6 \( \Rightarrow - 3 \le {\log _3}y < 3 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{27}} \le y < 27\).

Các số nguyên dương y thỏa mãn là: \(1;2;3;...;26\). (26 giá trị)

- Nếu \({\log _3}y > 4 \Leftrightarrow y > {3^4} \Leftrightarrow y > 81\) thì (*) \( \Leftrightarrow 4 < x < {\log _3}y\).

Bất phương trình (*) có nghiệm nguyên \(x\) và số nghiệm nguyên \(x\) không vượt quá 6 \( \Rightarrow 5 < {\log _3}y \le 11 \Leftrightarrow 243 < y \le 177147\).

Các số nguyên dương y thỏa mãn là: \(244;245;....;177147\). (176 904 giá trị)

Kết hợp 2 trường hợp ta được tất cả 176 930 giá trị.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.