Cho hàm số \(y = \left| {12{x^5} - \left( {15m + 30} \right){x^4} + 20{x^3} - 30\left( {{m^2} - 4m + 3} \right){x^2}
Cho hàm số \(y = \left| {12{x^5} - \left( {15m + 30} \right){x^4} + 20{x^3} - 30\left( {{m^2} - 4m + 3} \right){x^2} + 120\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2023 + m} \right|\). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\)?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Nhẩm được \(x = 2\) là nghiệm của đạo hàm.
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 12{x^5} - \left( {15m + 30} \right){x^4} + 20{x^3} - 30\left( {{m^2} - 4m + 3} \right){x^2} + 120\left( {{m^2} + 1} \right)x + 2023 + m\)
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = 60{x^4} - 4\left( {15m + 30} \right){x^3} + 60{x^2} - 60\left( {{m^2} - 4m + 3} \right)x + 120\left( {{m^2} + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 60\left[ {{x^4} - \left( {m + 2} \right){x^3} + {x^2} - \left( {{m^2} - 4m + 3} \right)x + 2\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 60\left( {x - 2} \right)\left[ {{x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1} \right].\end{array}\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = 0\) nhận \(x = 2\) làm nghiệm.
TH1: \(y = f\left( x \right)\) không đạt cực trị tại \(x = 2 \Rightarrow x = 2\) là nghiệm bội lẻ của phương trình
\({x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1 = 0\).
\( \Rightarrow 8 - 4m - 2\left( {2m - 1} \right) - {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \)\( \Leftrightarrow - {m^2} - 8m + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 9\end{array} \right.\).
- Nếu \(m = 1 \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 12{x^5} - 45{x^4} + 20{x^3} + 240x + 2024\\f'\left( x \right) = 60\left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} - {x^2} - x - 2} \right) = 60{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + x + 1} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\).
Ta có bảng biến thiên:
\( \Rightarrow y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\,\, \Rightarrow \) Thỏa mãn.
- Nếu \(m = - 9 \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 12{x^5} + 105{x^4} + 20{x^3} - 3600{x^2} + 9840x + 2014\\f'\left( x \right) = 60\left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} + 9{x^2} + 19x - 82} \right) = 60{\left( {x - 2} \right)^2}\left( {{x^2} + 11x + 41} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1;3} \right)\end{array} \right.\)
Ta có bảng biến thiên :
\( \Rightarrow y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\,\, \Rightarrow \) Thỏa mãn.
TH2: \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = 2\).
\( \Rightarrow x = 2\) là nghiệm bội chẵn của phương trình \({x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1 = 0\) hoặc \(x = 2\) không phải là nghiệm của \({x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1 = 0\).
Nhận xét: Theo TH1 ta có \(x = 2\) không thể là nghiệm bội chẵn của phương trình \({x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1 = 0\)
Ta có:
\(x = 2\) không phải là nghiệm của \({x^3} - m{x^2} - \left( {2m - 1} \right)x - {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne - 9\end{array} \right.\).
Khi đó: \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\,\, \Rightarrow f\left( 2 \right) = 0\).
\( \Rightarrow 384 - 16\left( {15m + 30} \right) + 160 - 120\left( {{m^2} - 4m + 3} \right) + 240\left( {{m^2} + 1} \right) + 2023 + m = 0 \Leftrightarrow 120{m^2} + 241m + 1967 = 0\): vô lí.
Vậy, có tất cả 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
