Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Parabol \(y = {x^2}\) và hai điểm \(A,B\) thuộc \(\left( P \right)\)

Câu hỏi số 634564:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Parabol \(y = {x^2}\) và hai điểm \(A,B\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(AB = 2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(AB\) đạt giá trị lớn nhất bằng

A. \(\dfrac{3}{2}\).

B. \(\dfrac{3}{4}\).

C. \(\dfrac{2}{3}\).

D. \(\dfrac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634564

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = a;\,\,x = b\) được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;{a^2}} \right),B\left( {b;{b^2}} \right),\left( {a < b} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {b - a;{b^2} - {a^2}} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {b - a} \right)}^2} + {{\left( {{b^2} - {a^2}} \right)}^2}} = 2\).

\( \Rightarrow {\left( {b - a} \right)^2}\left[ {1 + {{\left( {a + b} \right)}^2}} \right] = 4 \Rightarrow \left| {b - a} \right| \le 2 \Rightarrow 0 < b - a \le 2\).

Đường thẳng AB có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;a + b} \right)\) và đi qua A. Phương trình đường thẳng AB là:

\(y = \left( {a + b} \right)\left( {x - a} \right) + {a^2}\).

Phương trình hoành độ giao điểm: \({x^2} - \left( {a + b} \right)\left( {x - a} \right) - {a^2} = 0\).

Diện tích hình phẳng:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_a^b {\left| {{x^2} - \left( {a + b} \right)\left( {x - a} \right) - {a^2}} \right|dx} \\\,\,\,\, = - \int\limits_a^b {\left( {{x^2} - \left( {a + b} \right)\left( {x - a} \right) - {a^2}} \right)dx} \\\,\,\,\, = - \int\limits_a^b {\left( {{x^2} - \left( {a + b} \right)x + ab} \right)dx} \end{array}\).

\(\begin{array}{l} = - \left. {\left( {\dfrac{1}{3}{x^3} - \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right){x^2} + abx} \right)} \right|_a^b\\ = - \left( {\dfrac{1}{3}{b^3} - \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right){b^2} + a{b^2}} \right) + \left( {\dfrac{1}{3}{a^3} - \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right){a^2} + {a^2}b} \right)\end{array}\).

\(\begin{array}{l} = - \dfrac{1}{3}\left( {{b^3} - {a^3}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} - {a^2}} \right) - ab\left( {b - a} \right)\\ = - \dfrac{1}{3}{\left( {b - a} \right)^3} - ab\left( {b - a} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {b - a} \right) - ab\left( {b - a} \right)\\ = - \dfrac{1}{3}{\left( {b - a} \right)^3} - 2ab\left( {b - a} \right) + \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\left( {b - a} \right)\\ = - \dfrac{1}{3}{\left( {b - a} \right)^3} - \dfrac{1}{2}\left( {b - a} \right)\left[ {4ab - {{\left( {a + b} \right)}^2}} \right]\\ = - \dfrac{1}{3}{\left( {b - a} \right)^3} + \dfrac{1}{2}{\left( {b - a} \right)^3} = \dfrac{1}{6}{\left( {b - a} \right)^3} \le \dfrac{1}{6}{.2^3} = \dfrac{4}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow {S_{\max }} = \dfrac{4}{3}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}b - a = 2\\1 + {\left( {a + b} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b - a = 2\\a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 1\end{array} \right.\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.