Biết phương trình \({2022^x} - {2022^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có một nghiệm dạng

Câu hỏi số 635217:

Vận dụng

Biết phương trình \({2022^x} - {2022^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \) có một nghiệm dạng \(x = a + \sqrt b \) (trong đó a, b là các số nguyên). Tính \(a + {b^3}\).

A. 3.

B. 10.

C. 7.

D. 9.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635217

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp xét hàm số đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{2022^x} - {2022^{\sqrt {2x + 1} }} = 1 - {x^2} + 2\sqrt {2x + 1} \\ \Leftrightarrow {2022^x} + {x^2} + 2x + 1 = 2x + 2 + 2\sqrt {2x + 1} + {2022^{\sqrt {2x + 1} }}\\ \Leftrightarrow {2022^x} + {\left( {x + 1} \right)^2} = {2022^{\sqrt {2x + 1} }} + {\left( {\sqrt {2x + 1} + 1} \right)^2}\end{array}\)

Xét hàm số đặc trunwg \(f(t) = {2022^t} + {(t + 1)^2},\,\,\,t \in [0; + \infty )\).

Ta có \(f'\left( t \right) = {2022^t}\ln 2022 + 2\left( {t + 1} \right) > 0,\,\,\,\forall t \in [0; + \infty )\).

Suy ra hàm số \(y = f(t)\) đồng biến trên khoảng \([0; + \infty )\).

Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = f\left( {\sqrt {2x + 1} } \right) \Leftrightarrow x = \sqrt {2x + 1} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = 2x + 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 2.\)

Vậy \(a + {b^3} = 1 + {2^3} = 9.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.