Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \({f^\prime }(x)\) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m

Câu hỏi số 635222:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f(x)\) có đồ thị \({f^\prime }(x)\) như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m \in ( - 2022;2022)\) để hàm số \(g(x) = f(2x - 3) - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)?

A. 2020.

B. 2021.

C. 2018.

D. 2019.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:635222

Giải chi tiết

Ta có \(g'(x) = 2f'(2x - 3) - \dfrac{{2x}}{{1 + {x^2}}} - 2m\)

Để hàm số \(g(x) = f(2x - 3) - \ln \left( {1 + {x^2}} \right) - 2mx\) nghịch biến trên \(\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

\( \Leftrightarrow g'(x) \le 0,\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right) \Leftrightarrow m \ge f'(2x - 3) - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\)

Xét hàm số \(h(x) = f'(2x - 3) - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\,\,x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\).

Đặt \(t = 2x - 3 \Rightarrow t \in ( - 1;1)\).

Khi đó ta xét hàm số \(g(t) = f'(t) - \dfrac{{\dfrac{{t + 3}}{2}}}{{1 + {{\left( {\dfrac{{t + 3}}{2}} \right)}^2}}} = f'(t) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}}\).

Ta có \(g'(t) = f''(t) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}}\), với \(t \in \left( { - 1;1} \right)\).

Từ đồ thị ta thấy được \(f'(t)\) đồng biến trên \(( - 1;1)\) nên \(f''(t) > 0,\forall t \in ( - 1;1)\).

Lại có \(2{t^2} + 12x + 14 > 0\,\,\forall x \in \left( { - 1;1} \right)\).

Nên \(g'(t) = f''(t) + \dfrac{{2{t^2} + 12t + 14}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 13} \right)}^2}}} > 0,\,\,\forall t \in ( - 1;1)\).

Suy ra hàm số \(g(t)\) đồng biến trên \(( - 1;1)\).

Do đó

\(\begin{array}{l}m \ge f'(2x - 3) - \dfrac{x}{{1 + {x^2}}},\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{2};2} \right)\\ \Leftrightarrow m \ge f'(t) - \dfrac{{2t + 6}}{{{t^2} + 6t + 13}},\,\,\forall t \in ( - 1;1)\\ \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} g\left( t \right) = g(1) = \dfrac{{18}}{5}\end{array}\)

Kết hợp điều kiện đề bài ra có \(m \in \left\{ {4;5;...;2021} \right\}\).

Vậy có 2018 giá trị nguyên m thoả mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.