Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - mz + m + 8 = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu

Câu hỏi số 638867:

Vận dụng

Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - mz + m + 8 = 0\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) phân biệt thỏa mãn \(\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|?\)

A. 4.

B. 6.

C. 5.

D. 11.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638867

Phương pháp giải

Xét trường hợp phương trình có hai nghiệm thực phân biệt và phương trình có hai nghiệm phức.

Giải chi tiết

Ta có \(\Delta = {m^2} - 4m - 32\).

TH1: Xét \(\Delta > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 4m - 32 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 8}\\{m < - 4}\end{array}} \right.\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = m\\{z_1}{z_2} = m + 8\end{array} \right.\). Khi đó phương trình có hai nghiệm thực phân biệt.

Ta có \(z_1^2 = m{z_1} - m - 8\) suy ra \(z_1^2 + m{z_2} = m\left( {{z_1} + {z_2}} \right) - m - 8 = {m^2} - m - 8\).

Do đó \(\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\).

+) Nếu \({m^2} - m - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\\m \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}\end{array} \right.\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - m - 8 = 0\\\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{2}\,\,\left( {Ktm} \right)\\{z_1} = {z_2}\,\,\left( {Ktm} \right)\\{z_1} = - {z_2} \Leftrightarrow {z_1} + {z_2} = 0 \Leftrightarrow m = 0\,\,\left( {Ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Nếu \({m^2} - m - 8 < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2} < m < \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l} - \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - m - 8 = 0\\ - \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{1 \pm \sqrt {33} }}{2}\,\,\left( {Ktm} \right)\\{z_1} = {z_2} = 0\,\,\left( {Ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

\({\rm{TH}}2\): Xét \(\Delta < 0 \Leftrightarrow - 4 < m < 8\) khi đó phương trình có hai nghiệm phức phân biệt và \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right|\).

Ta có \(\left| {{z_1}\left( {z_1^2 + m{z_2}} \right)} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{m^2} - m - 8} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left( {{m^2} - m - 8} \right)\left| {{z_2}} \right|\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - m - 8 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge \dfrac{{1 + \sqrt {33} }}{2}}\\{m \le \dfrac{{1 - \sqrt {33} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Kết hợp điều kiện ta được \(m \in \{ - 3;4;5;6;7\} \).

Vậy có tất cả là 5 số nguyên cần tìm.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.