Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên

Câu hỏi số 638870:

Vận dụng

Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2F(0) - G(0) = 1,\) \(F(2) - 2G(2) = 4\) và \(F(1) - G(1) = - 1\). Tính \(\int\limits_1^{{e^2}} {\dfrac{{f(\ln x)}}{{2x}}\;{\rm{d}}x} \).

A. -2.

B. -4.

C. -6.

D. -8.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638870

Phương pháp giải

Vì (x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) nên \(G(x) = F(x) + C\).

Giải hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2F(0) - G(0) = 1}\\{F(2) - 2G(2) = 4}\\{F(1) - G(1) = - 1}\end{array}} \right.\) tìm F(0), F(2), C.

Tính \(\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = F(2) - F(0)\).

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính \(\int\limits_1^{{e^2}} {\dfrac{{f(\ln x)}}{{2x}}\;{\rm{d}}x} \), đặt t = lnx.

Giải chi tiết

Vì (x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) nên \(G(x) = F(x) + C\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2F(0) - G(0) = 1}\\{F(2) - 2G(2) = 4}\\{F(1) - G(1) = - 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F(0) - C = 1}\\{ - F(2) - 2C = 4}\\{C = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{F(0) = 2}\\{F(2) = - 6.}\\{C = 1}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = F(2) - F(0) = - 6 - 2 = - 8\).

Xét \(I = \int\limits_1^{{e^2}} {\dfrac{{f(\ln x)}}{{2x}}\;{\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{x}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \ln 1 = 0\\x = {e^2} \Rightarrow t = \ln {e^2} = 2\end{array} \right.\).

Khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^2 {\dfrac{{f\left( t \right)}}{2}dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{2}.\left( { - 8} \right) = - 4.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.