Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 5{x^4} + 6x +

Câu hỏi số 638871:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(x) + xf'(x) = 5{x^4} + 6x + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\) và \(y = f'(x)\) thuộc khoảng

A. \((27;28)\).

B. \((26;27)\).

C. \((28;29)\).

D. \((29;30)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638871

Phương pháp giải

Sử dụng giả thiết \(f(x) + xf'(x) = 5{x^4} + 6x + 3,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), sử dụng công thức nguyên hàm một tích và nguyên hàm hai vế, tìm được hàm f(x) và f’(x).

Giải phương trình hoành độ giao điểm f(x) = f’(x) tìm hai nghiệm x = a nhỏ nhất và x = b lớn nhất.

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - f'\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}f(x) + x.f'(x) = 5{x^4} + 6x + 3\\ \Leftrightarrow (x)'.f(x) + x.f'(x) = 5{x^4} + 6x + 3\\ \Leftrightarrow \left[ {x.f(x)} \right]' = 5{x^4} + 6x + 3\\ \Leftrightarrow x.f(x) = {x^5} + 3{x^2} + 3x + C\\ \Leftrightarrow f(x) = \dfrac{{{x^5} + 3{x^2} + 3x + C}}{x}\end{array}\)

Vì \(f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(C = 0\).

Suy ra \(f(x) = {x^4} + 3x + 3 \Rightarrow f'(x) = 4{x^3} + 3\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(y = f'(x)\), ta có:

\({x^4} + 3x + 3 = 4{x^3} + 3 \Leftrightarrow x\left( {{x^3} - 4{x^2} + 3} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x(x - 1)\left( {{x^2} - 3x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 1}\\{x = \dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2}}\\{x = \dfrac{{3 - \sqrt {21} }}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f(x)\) và \(y = f'(x)\) là: \(S = \int\limits_{\dfrac{{3 - \sqrt {21} }}{2}}^{\dfrac{{3 + \sqrt {21} }}{2}} {\left| {f(x) - f'(x)} \right|{\rm{d}}x} \approx 28,87\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.