Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, góc giữa hai mặt phẳng (A’B’C’) và (BCC’B’) bằng \({60^0}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’ bằng 3a. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh \(\left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle OMB'\).
Chứng minh \(d\left( {AA',B'C'} \right) = 3d\left( {O,\left( {BCC'B'} \right)} \right)\).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên B’M. Chứng minh \(d\left( {O,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = OH\).
Giả sử cạnh đáy bằng \(x\) (x > 0), tính OM và B’O theo x.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông B’OM tìm x theo a.
Tính thể tích khối lăng trụ \(V = B'O.{S_{\Delta ABC}}\).
Gọi O là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow B'O \bot \left( {ABC} \right)\).
Gọi M là trung điểm BC ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot B'O\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {OB'M} \right) \Rightarrow BC \bot B'M\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = B'C'\\OM \subset \left( {ABC} \right),\,\,OM \bot B'C'\\B'M \subset \left( {BCC'B'} \right),\,\,B'M \bot B'C'\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {\left( {A'B'C'} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {\left( {ABC} \right),\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \left( {OM,B'M} \right) = \angle OMB' = {60^0}\).
Ta có: \(AA'//\left( {BCC'B'} \right) \supset B'C'\)
\( \Rightarrow d\left( {AA',B'C'} \right) = d\left( {AA',\left( {BCC'B'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 3d\left( {O,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = 3a\)
\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = a\)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên B’M. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot B'M\\OH \bot BC\,\,\left( {do\,\,BC \bot \left( {OB'M} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {BCC'B'} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {O,\left( {BCC'B'} \right)} \right) = OH = a\).
Giả sử cạnh đáy bằng \(x\) (x > 0) \( \Rightarrow AM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow OM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}\).
Xét tam giác vuông B’OM: \(B'O = OM.\tan {60^0} = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{x}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông B’OM có
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{B'{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{{x^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{{x^2}}}{{12}}}} = \dfrac{{16}}{{{x^2}}}\\ \Leftrightarrow {x^2} = 16{a^2} \Leftrightarrow x = 4a\end{array}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ \(V = B'O.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{x}{2} \cdot \dfrac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{{{\left( {4a} \right)}^3}\sqrt 3 }}{8} = 8{a^3}\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
