Cho hình nón có đỉnh S, chiều cao bằng 3a. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao
Cho hình nón có đỉnh S, chiều cao bằng 3a. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho diện tích tam giác SAB bằng \(9{a^2}\), khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng (SAB) bằng a. Tính thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón.
Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của O lên AB, SK, chứng minh \(OH \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow OH = a\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOK tính OK.
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OBK tính OB.
Tính thể tích khối nón có bán kính đáy R, chiều cao h: \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\).
Gọi O, R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón.
Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của O lên AB, SK ta có:
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{AB \bot OK}\\{AB \bot SO}\end{array}} \right\} \Rightarrow AB \bot (SOK) \Rightarrow AB \bot OH\)
\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{OH \bot SK}\\{OH \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow OH \bot (SAB) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SAB} \right)} \right) = OH = a\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOK ta có
\(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{O^2}}} + \dfrac{1}{{O{K^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{H^2}}} - \dfrac{1}{{S{O^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{{(3a)}^2}}} = \dfrac{8}{{9{a^2}}}\)
\( \Rightarrow OK = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}\)
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOK:
\(S{K^2} = S{O^2} + O{K^2} = {(3a)^2} + {\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)^2} = \dfrac{{81{a^2}}}{8} \Rightarrow SK = \dfrac{{9a\sqrt 2 }}{4}\)
Tam giác cân SAB có \({S_{\Delta SAB}} = \dfrac{1}{2}SK.AB \Rightarrow AB = \dfrac{{2.{S_{\Delta SAB}}}}{{SK}} = \dfrac{{2.9{a^2}}}{{\dfrac{{9a\sqrt 2 }}{4}}} = 4a\sqrt 2 \).
Suy ra \(BK = \dfrac{1}{2}AB = 2a\sqrt 2 \)
Trong tam giác vuông OBK có \(R = OB = \sqrt {O{K^2} + B{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{3a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2} + {{(2a\sqrt 2 )}^2}} = \dfrac{{a\sqrt {146} }}{4}\).
Vậy thể tích khối nón bằng \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt {146} }}{4}} \right)^2}.3a = \dfrac{{73\pi {a^3}}}{8}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
