Cho hai số phức z và w thỏa mãn \(z + 2w = 8 - 6i\) và \(\left| {z - w} \right| = 4\). Giá trị lớn nhất

Câu hỏi số 638875:

Vận dụng cao

Cho hai số phức z và w thỏa mãn \(z + 2w = 8 - 6i\) và \(\left| {z - w} \right| = 4\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| z \right| + \left| w \right|\) bằng

A. \(4\sqrt 6 \).

B. \(2\sqrt {26} \).

C. \(\sqrt {66} \).

D. \(3\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638875

Giải chi tiết

Giả sử M, N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w.

Theo giả thiết ta có:

+) \(z + 2w = 8 - 6i \Rightarrow \overrightarrow {OM} + 2\overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OF} = 2\overrightarrow {OI} \), với N là trung điểm của OE, F là đỉnh thứ tư của hình bình hành OEFM, I là trung điểm của EM, OF.

\( \Rightarrow \overrightarrow {OF} = \left( {8; - 6} \right) \Rightarrow OF = 10 \Rightarrow OI = 5\).

+) \(\left| {z - w} \right| = 4 \Leftrightarrow MN = 4\).

Đặt \(\left| w \right| = ON = \dfrac{a}{2};\,\,\left| z \right| = OM = b \Rightarrow OE = a\).

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{O{I^2} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{M{E^2}}}{4} = 25}\\{M{N^2} = \dfrac{{{b^2} + M{E^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = 16}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - 25 = \dfrac{{M{E^2}}}{4}}\\{16 + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{b^2}}}{2} = \dfrac{{M{E^2}}}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 50 = \dfrac{{M{E^2}}}{2}}\\{16 + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{b^2}}}{2} = \dfrac{{M{E^2}}}{2}}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2}} \right) - 50 = 16 + \dfrac{{{a^2}}}{4} - \dfrac{{{b^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{3{a^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{2} = 66\\ \Rightarrow {a^2} + 2{b^2} = 88\end{array}\)

Ta có: \({\left( {\left| z \right| + \left| w \right|} \right)^2} = {\left( {\dfrac{a}{2} + b} \right)^2} = {\left( {a.\dfrac{1}{2} + \sqrt 2 b.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \le \left( {{a^2} + 2{b^2}} \right)\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{2}} \right) = 66\).

Suy ra \(a + b \le \sqrt {66} \), dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2{b^2} = 88\\\dfrac{a}{{\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 2 b}}{{\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + 2{b^2} = 88\\a = b\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{{2\sqrt {66} }}{3}\)..

Vậy \({\left( {\left| z \right| + \left| w \right|} \right)_{\max }} = \sqrt {66} \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.