Có bao nhiêu bộ (x;y) với x, y nguyên và \(1 \le x,y \le 2023\) thỏa mãn \((xy + 2x + 4y + 8){\log _3}\left(

Câu hỏi số 638877:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu bộ (x;y) với x, y nguyên và \(1 \le x,y \le 2023\) thỏa mãn

\((xy + 2x + 4y + 8){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le (2x + 3y - xy - 6){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\)?

A. 4040.

B. 2023.

C. 4046.

D. 2020.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:638877

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x,y \in {\mathbb{N}^*}:x,y \le 2023}\\{\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}} > 0,\dfrac{{2y}}{{y + 2}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x,y \in {\mathbb{N}^*}:x,y \le 2023}\\{x > 3,y > 0}\end{array}} \right.} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}(xy + 2x + 4y + 8){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le (2x + 3y - xy - 6){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right)\\ \Leftrightarrow (xy - 2x - 3y + 6){\log _2}\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x - 3}}} \right) + (xy + 2x + 4y + 8){\log _3}\left( {\dfrac{{2y}}{{y + 2}}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {y - 2} \right){\log _2}\left( {1 + \dfrac{{x + 4}}{{x - 3}}} \right) + \left( {x + 4} \right)\left( {y + 2} \right){\log _3}\left( {1 + \dfrac{{y - 2}}{{y + 2}}} \right) \le 0\,\,\left( * \right)\end{array}\).

TH1: Xét \(y = 1\) thì \((*)\) thành \( - (x - 3){\log _2}\left( {\dfrac{{x + 4}}{{x - 3}} + 1} \right) + 3(x + 4){\log _3}\dfrac{2}{3} \le 0\).

Dễ thấy BPT này nghiệm đúng với mọi \(x > 3\) vì

\(\left\{ \begin{array}{l} - (x - 3) < 0;\,\,\,{\log _2}\left( {\dfrac{{x + 4}}{{x - 3}} + 1} \right) > {\log _2}(0 + 1) = 0 \Rightarrow - (x - 3){\log _2}\left( {\dfrac{{x + 4}}{{x - 3}} + 1} \right) < 0\\3(x + 4) > 0;\,\,{\log _3}\dfrac{2}{3} < 0 \Rightarrow 3(x + 4){\log _3}\dfrac{2}{3} < 0\end{array} \right.\).

Như vậy trường hợp này cho ta 2020 bộ \((x;y) = (x;1)\) với \(4 \le x \le 2023,x \in \mathbb{N}\).

TH2: Xét \(y = 2\) thì (*) thành \(4(x + 4){\log _3}1 \le 0 \Leftrightarrow 0 \le 0\) (luôn đúng với mọi x thoả mãn \(4 \le x \le 2023,x \in \mathbb{N}\))

=> Trường hợp này cho 2020 cặp \((x;y) = \left( {x;2} \right)\) với \(4 \le x \le 2023,x \in \mathbb{N}\).

TH3: Xét \(y > 2,\,\,x > 3\) thì VT (*) > 0 nên \((*)\) không xảy ra.

Vậy có đúng 4040 bộ số (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.