Cho hình bình hành ABCD có \(\angle ABC = {120^\circ }\) và \(BC = 2AB\). Dựng đường tròn \((O)\) có
Cho hình bình hành ABCD có \(\angle ABC = {120^\circ }\) và \(BC = 2AB\). Dựng đường tròn \((O)\) có đường kính AC. Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB, AD với đường tròn \((O)\). Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng BC, BD tại H, S. Chứng minh:
a) Tam giác ABD là tam giác vuông
b) Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp
c) SC là tiếp tuyến của (O)
Quảng cáo
a) Gọi M là trung điểm của AD. Chứng minh trung tuyến \(BM = \dfrac{1}{2}AD\)
b) Chứng minh \(\angle BOH = \angle OEH\)
c) Chứng minh SOHC nội tiếp
a) Tam giác ABD là tam giác vuông
Gọi M là trung điểm của AD \( \Rightarrow MA = MD = \dfrac{1}{2}AD\) (tính chất)
Do ABCD là hình bình hành nên \(AD\parallel BC,AD = BC\)
\( \Rightarrow \angle DAB + \angle ABC = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía)
\({P_1}(x) = \dfrac{{P(x + 1) + P(x - 1)}}{2}\)
Do \(BC = 2AB\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = \dfrac{1}{2}BC\). Mà AD = BC (cmt)
\( \Rightarrow AM = AB\)\( \Rightarrow \Delta AMB\) cân tại A
Mà \(\angle BAM = {60^0}\) (chứng minh trên) nên \(\Delta AMB\) là tam giác đều
\( \Rightarrow BM = AM = MD = \dfrac{1}{2}AD\)
Xét \(\Delta ABD\) có BM là đường trung tuyến ứng với cạnh AD có \(AM = \dfrac{1}{2}AD\)
\( \Rightarrow \Delta ABD\) là tam giác vuông tại B (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) (đpcm)
b) Tứ giác OBEH là tứ giác nội tiếp
Do ABCD là hình bình hành nên \(CD\parallel AB\), mà \(\angle ABD = {90^0}\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle BDC = {90^0}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \angle {B_1} + \angle BCD = {90^0}\) (tổng ba góc trong tam giác DBC)
\( \Leftrightarrow \angle {B_1} + \angle {C_2} + \angle {C_3} = {90^0}\) (1)
Ta có \(\angle {C_2} = \angle {A_2}\) (so le trong), \(\angle {A_2} = \angle {E_3}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung FC)
\( \Rightarrow \angle {C_2} = \angle {E_3}\left( { = \angle {A_2}} \right)\) (2)
Ta có \(\Delta OAE\) cân tại O (OA = OE = bán kính)
\( \Rightarrow \angle {E_1} = \angle {A_1}\) (tính chất)
Mà \(\angle {A_1} = \angle {C_3}\) (so le trong)
\( \Rightarrow \angle {E_1} = \angle {C_3}\left( { = \angle {A_1}} \right)\) (3)
Mà \(\angle {E_1} + \angle {E_2} + \angle {E_3} = \angle AEC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) (4)
Từ (1),(2),(3),(3),(4) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\angle {B_1} + \angle {C_2} + \angle {C_3} = {90^0}\\\angle {E_1} + \angle {E_2} + \angle {E_3} = {90^0}\\\angle {C_2} = \angle {E_3},\angle {C_3} = \angle {E_1}\end{array} \right. \Rightarrow \angle {B_1} = \angle {E_2}\)
Mà 2 đỉnh này ở vị trí kề nhau, cùng nhìn OH dưới 2 góc bằng nhau nên O, B, E, H cùng thuộc một đường tròn.
Hay OBEH là tứ giác nội tiếp.
c) SC là tiếp tuyến của (O)
Do OBEH là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên), mà \(\angle OBE = {90^0}\) (do \(\Delta DAB\) vuông, chứng minh ý a)
\( \Rightarrow \angle OHS = {90^0}\) (tính chất góc ngoài của đỉnh đối diện) và \(\angle BHE = \angle BOE\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BE)(5)
Do \(\Delta OAE\) cân tại O có đường cao OB nên OB đồng thời là phân giác (tính chất) \( \Rightarrow \angle EOB = \angle BOA\)
Mà \(\angle AOB = \angle DOC\) (đối đỉnh) \( \Rightarrow \angle DOC = \angle BOE\left( { = \angle AOB} \right)\) (6)
Lại có \(\angle SHC = \angle BHE\) (đối đỉnh) (7)
Từ (5)(6)(7) suy ra \(\angle SOC = \angle SHC\)
Mà O, H là hai đỉnh kề nhau cùng nhìn SC dưới 2 góc bằng nhau nên O, S, H, C cùng thuộc một đường tròn
\( \Rightarrow \angle OHS = \angle OCS\) (góc nội tiếp cùng chắn cung SO)
Mà \(\angle OHS = {90^0}\) (chứng minh trên)
\( \Rightarrow OCS = {90^0} \Rightarrow SC \bot OC\) tại C thuộc \(\left( O \right)\)
\( \Rightarrow SC\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
