a) Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) (1) ( \(m\) là tham số). Chứng minh
a) Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) (1) ( \(m\) là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), phương trình (1) luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào \(m\).
b) Cho parabol \((P):y = a{x^2}(a \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) trên parabol \((P)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục hoành.
Quảng cáo
a) Tính \(\Delta \) và chứng minh \(\Delta > 0\,\,\,\forall m\), áp dụng viet tìm biểu thức \({x_1},{x_2}\) không chứa m
b) Thay tọa độ A vào hàm số tìm a. Gọi \(M\left( {a;\dfrac{1}{2}{a^2}} \right) \in (P)\) bất kì và lập phương trình khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục hoành tìm a.
a) Cho phương trình \({x^2} - (2m - 1)x - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) (1) ( \(m\) là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), phương trình (1) luôn có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\). Tìm hệ thức liên hệ giữa \({x_1},{x_2}\) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc vào \(m\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( { - {m^2} - 1} \right) = 4{m^2} - 4m + 1 + {m^2} + 1 = 5{m^2} - 4m + 2\\ = 5{m^2} - 2.\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}.\sqrt 5 m + \dfrac{4}{5} + \dfrac{6}{5} = {\left( {\sqrt 5 m - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} + \dfrac{6}{5} > 0\,\,\,\forall m\end{array}\)
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = 2m - 1}\\{{x_1}.{x_2} = - {m^2} - 1}\end{array}} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{{x_1} + {x_2} + 1}}{2} = m}\\{ - 1 - {x_1}.{x_2} = {m^2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow - 1 - {x_1}.{x_2} = {\left( {\dfrac{{{x_1} + {x_2} + 1}}{2}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 4 - 4{x_1}.{x_2} = {x_1}^2 + {x_2}^2 + 1 + 2{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow {x_1}^2 + {x_2}^2 + 6{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 5 = 0\end{array}\)
Vậy hệ thức cần tìm là \({x_2}^2 + {x_1}^2 + 6{x_1}{x_2} + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3 = 0\).
b) Cho parabol \((P):y = a{x^2}(a \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\). Tìm tọa độ của điểm \(M\) trên parabol \((P)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục hoành.
Vì parabol \((P):y = a{x^2}(a \ne 0)\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;\dfrac{1}{2}} \right)\) nên thay toạ độ điểm A vào (P) ta có:
\(\dfrac{1}{2} = a.{\left( { - 1} \right)^2} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}.\)
\( \Rightarrow \) \((P):y = \dfrac{1}{2}{x^2}\)
Gọi \(M\left( {a;\dfrac{1}{2}{a^2}} \right) \in (P)\) bất kì.
Khi đó khoảng cách từ M đến trục tung là \(MH = a\)
Khoảng cách từ M đến trục hoành là \(MK = \dfrac{1}{2}{a^2}\)
Để khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục tung gấp hai lần khoảng cách từ điểm \(M\) đến trục hoành, khi đó:
\( \Rightarrow MH = 2MK\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a = 2.\dfrac{1}{2}{a^2}\\ \Leftrightarrow a = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - a = 0\\ \Leftrightarrow a\left( {a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 0}\\{a = 1}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy có hai điểm thoả mãn \({M_1}\left( {0;0} \right)\)và \({M_2}\left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
