Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^4} + 2(m + 2){z^2} + 3m + 2 = 0,\) (m là tham số

Câu hỏi số 639383:

Vận dụng

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^4} + 2(m + 2){z^2} + 3m + 2 = 0,\) (m là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của tham số m sao cho phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt và bốn điểm A, B, C, D biểu diễn bốn nghiệm đó trên mặt phẳng phức tạo thành một tứ giác có diện tích bằng 4?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:639383

Phương pháp giải

Giải phương trình bậc bốn trùng phương bằng cách đặt \(t = {z^2}\), đưa về phương trình bậc hai và sử dụng biệt thức \(\Delta \) chứng minh phương trình bậc hai ẩn t luôn có 2 nghiệm thực phân biệt.

Tìm điều kiện để phương trình ẩn z có 4 nghiệm sao cho 4 điểm biểu diễn A, B, C, D không thẳng hàng.

Chứng minh ABCD là hình thoi.

Tính diện tích hình thoi bằng nửa tích hai đường chéo.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {z^2}\), phương trình trở thành \({t^2} + 2(m + 2)t + 3m + 2 = 0\). (1)

Ta có: \(\Delta ' = {(m + 2)^2} - (3m + 2) = {m^2} + m + 2 > 0,\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\), do đó phương trình (1) luôn có hai nghiệm thực phân biệt.

Nếu (1) có hai nghiệm thực dương hoặc hai nghiệm thực âm thì bốn điểm A, B, C, D thẳng hàng (Vì cùng thuộc Ox hoặc cùng thuộc Oy) nên không thoả mãn bài toán.

Nếu (1) có hai nghiệm trái dấu \({t_1} < 0 < {t_2}\), tức là \(3m + 2 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{2}{3}\) thì phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt là \( \pm \sqrt {{t_2}} \) và \( \pm i\sqrt { - {t_1}} \).

Giả sử \(A\left( { - \sqrt {{t_2}} ;0} \right),B\left( {0;\sqrt { - {t_1}} } \right),C\left( {\sqrt {{t_2}} ;0} \right)\) và \(D\left( {0; - \sqrt { - {t_1}} } \right)\). Khi đó, bốn điểm A, B, C, D tạo thành một hình thoi.

Diện tích hình thoi ABCD bằng \(\dfrac{1}{2}.AC.BD = \dfrac{1}{2}.2\sqrt {{t_2}} .2\sqrt { - {t_1}} = 2\sqrt { - {t_1}{t_2}} = 2\sqrt { - 3m - 2} \).

Từ giả thiết ta có \(2\sqrt { - 3m - 2} = 4 \Leftrightarrow m = - 2.\)

Đối chiếu điều kiện, ta có \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.