Cho các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}}

Câu hỏi số 639385:

Vận dụng cao

Cho các số thực dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}\). Khi biểu thức \(P = \dfrac{{x + y + 10}}{x}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì tổng \(x + y\) bằng

A. 9.

B. 8.

C. \(1 + 9\sqrt 2 \).

D. \(1 + 8\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:639385

Phương pháp giải

Xét hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có \(4 + {3^{2{x^2} - y + 2}} = \left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right) \cdot {7^{y - 2{x^2} + 2}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {7^{2{x^2} - y}}\left( {4 + 9 \cdot {3^{2{x^2} - y}}} \right) = 49\left( {4 + {9^{2{x^2} - y}}} \right)\\ \Leftrightarrow \quad 4 \cdot {7^{2{x^2} - y}} + 9 \cdot {21^{2{x^2} - y}} - 49 \cdot {9^{2{x^2} - y}} - 196 = 0.\end{array}\)

Đặt \(t = 2{x^2} - y\), ta được \((*) \Leftrightarrow 4 \cdot {7^t} + 9 \cdot {21^t} - 49 \cdot {9^t} - 196 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{4 + {3^{t + 2}}}}{{{7^{t + 2}}}} = \dfrac{{4 + {3^{2t}}}}{{{7^{2t}}}}\).

Xét hàm số \(f(a) = \dfrac{{4 + {3^a}}}{{{7^a}}} = 4 \cdot {\left( {\dfrac{1}{7}} \right)^a} + {\left( {\dfrac{3}{7}} \right)^a}\) là hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f(t + 2) = f(2t) \Leftrightarrow t + 2 = 2t \Leftrightarrow t = 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - y = 2\)

Khi đó \(P = \dfrac{{2{x^2} + x + 8}}{x} = 2x + \dfrac{8}{x} + 1 \ge 2\sqrt {2x \cdot \dfrac{8}{x}} + 1 = 9\).

Vậy \({P_{\min }} = 9\) khi \(x = 2\) và \(y = 6\), hay \(x + y = 8\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.