Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5) nằm bên
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3), bán kính R = 5 và điểm P(2;4;5) nằm bên trong mặt cầu. Qua P dựng 3 dây cung AA’, BB’, CC’ của mặt cầu (S) đôi một vuông góc với nhau. Dựng hình hộp chữ nhật có ba cạnh là PA, PB, PC. Gọi PQ là đường chéo của hình hộp chữ nhật đó. Biết rằng Q luôn chạy trên một mặt cầu cố định. Bán kính của mặt cầu đó bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(3{R^2} = I{A^2} + I{B^2} + I{C^2} = 3I{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\).
Lại có \(9P{G^2} = P{Q^2} = P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} = 3P{G^2} + G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}\). (2)
Từ (1) và (2) ta có \(3{R^2} = 3I{G^2} + 6P{G^2} \Leftrightarrow I{G^2} + 2P{G^2} = {R^2}\).
Vì \(\overrightarrow {GQ} + 2\overrightarrow {GP} = \vec 0\) nên ta có
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {IG} = \overrightarrow {IQ} + 2\overrightarrow {IP} \\ \Rightarrow 9I{G^2} = I{Q^2} + 4I{P^2} + 4\overrightarrow {IQIP} = I{Q^2} + 4I{P^2} + 2\left( {I{Q^2} + I{P^2} - P{Q^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3I{Q^2} + 6I{P^2} - 2P{Q^2} = 3I{Q^2} + 6I{P^2} - 18P{G^2}\\ \Rightarrow 9I{G^2} + 18P{G^2} = 3I{Q^2} + 6I{P^2}\\ \Rightarrow 9{R^2} = 3I{Q^2} + 6I{P^2} \Rightarrow I{Q^2} = 3{R^2} - 2I{P^2} = 57\end{array}\)
Vậy điểm \(Q\) luôn di động trên mặt cầu cố định có tâm \(I\), bán kính bằng \(\sqrt {57} \).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
