Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}\) và \(\left( {d'}

Câu hỏi số 640180:

Vận dụng

Cho hai đường thẳng \(\left( d \right):\dfrac{x}{4} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z - 3}}{1}\) và \(\left( {d'} \right):\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Gọi \(I\left( {a;b;c} \right)\) là tâm mặt cầu đi qua \(A\left( {3;2;2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\). Biết \(I\) nằm trên \(\left( {d'} \right)\) và \(a < 2\). Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = 8\).

B. \(T = 4\).

C. \(T = 0\).

D. \(T = 2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640180

Phương pháp giải

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong không gian:

\(d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {MA} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\) , với \(\overrightarrow u \) là VTCP của \(\Delta \) và M là điểm bất kì thuộc \(\Delta \).

Giải chi tiết

Do \(I \in d'\) nên giả sử \(I\left( {1 + t;t;1 + t} \right)\).

Lấy \(M\left( {0;2;3} \right) \in d\). Xét các vec tơ

\(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4;1;1} \right);\overrightarrow {IM} = \left( { - 1 - t;2 - t;2 - t} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {IM} } \right] = \left( {0;3t - 9; - 3t + 9} \right)\).

Khi đó: \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {IM} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {2{{\left( {3t - 9} \right)}^2}} }}{{3\sqrt 2 }} = \left| {t - 3} \right|\) .

Mặt cầu đi qua \(A\left( {3;2;2} \right)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) \( \Leftrightarrow d\left( {I;d} \right) = IA\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {t - 3} \right| = \sqrt {{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow {t^2} - 6{t^2} + 9 = 3{t^2} - 10t + 9\\ \Leftrightarrow 2{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 2\end{array} \right.\end{array}\)

\(t = 0 \Rightarrow I\left( {1;0;1} \right)\): Thỏa mãn. \( \Rightarrow a + b + c = 2\).

\(t = 2 \Rightarrow I\left( {3;2;3} \right)\): Loại.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.