Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} } \right|\) với \(m\) là tham số thực. Đồ thị hàm

Câu hỏi số 640190:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} } \right|\) với \(m\) là tham số thực. Đồ thị hàm số đã cho có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 4.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640190

Phương pháp giải

+ Biết trước đồ thị (C): y = f(x) khi đó đồ thị (C₂ ): y = |f(x)| là gồm phần:

Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành

Lấy đối xứng đồ thị (C) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.

Giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} \), có:

\(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 3m\sqrt {{x^2} + 1} + 3mx.\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 3.\dfrac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + m\left( {{x^2} + 1} \right) + m{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 3.\dfrac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} + m\left( {2{x^2} + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).

* Nếu \(m \ge 0\) thì \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \Rightarrow \)Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Lại có: \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^3} + 3mx\sqrt {{x^2} + 1} = 0 \Leftrightarrow x\left[ {{x^2} + 3m\sqrt {{x^2} + 1} } \right] = 0 \Leftrightarrow x = 0\), \(f\left( x \right)\) đổi dấu qua \(x = 0\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có đúng 1 cực trị là \(x = 0\).

* Nếu \(m < 0\) thì \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}\sqrt {{x^2} + 1} = - m\left( {2{x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow - m = \dfrac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2{x^2} + 1}}\) (1)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{2{x^2} + 1}},\,\,\)có:

\(g'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {2x\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2}.\dfrac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)\left( {2{x^2} + 1} \right) - 4x.{x^2}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{\dfrac{{2x\left( {{x^2} + 1} \right) + {x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}.\left( {2{x^2} + 1} \right) - 4{x^3}\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {3{x^3} + 2x} \right).\left( {2{x^2} + 1} \right) - 4{x^5} - 4{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{{x^5} + 3{x^3} + 2x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{x\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} .{{\left( {2{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có bảng biến thiên sau:

Do \( - m > 0\) nên (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt (bội lẻ) trái dấu.

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đúng 2 cực trị trái dấu là A và B \(\left( {A < 0 < B} \right)\) .

Ta có bảng sau:

Khi đó: Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có tối đa 5 cực trị.

Vậy, hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có tối đa 5 cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.