Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;2023} \right]\) để phương trình \({2^{x - 2

Câu hỏi số 640189:

Vận dụng cao

Số các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ {0;2023} \right]\) để phương trình \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1\) có đúng 1 nghiệm là

A. 2023.

B. 2019.

C. 2022.

D. 2021.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:640189

Phương pháp giải

Sử dụng hàm đặc trưng.

Giải chi tiết

Ta có: \({2^{x - 2 + \sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right){2^{x - 2}} = {2^{x + 1}} + 1 \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 9x + m} \right) = {2^3} + {2^{2 - x}}\).

\( \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x + \left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8} \right) = {2^{2 - x}} \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x + {\left( {x - 2} \right)^3} = {2^{2 - x}}\)\( \Leftrightarrow {2^{\sqrt[3]{{m - 3x}}}} + m - 3x = {2^{2 - x}} + {\left( {2 - x} \right)^3}\). (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + {t^3},\,\,f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 3{t^2} > 0,\forall t \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{m - 3x}} = 2 - x \Leftrightarrow m - 3x = {\left( {2 - x} \right)^3} \Leftrightarrow m = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 8\) (2*).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^3} + 6{x^2} - 9x + 8,\,\,g'\left( x \right) = - 3{x^2} + 12x - 9,\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên sau:

(2*) có đúng 1 nghiệm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 4\\m > 8\end{array} \right.\).

Mà m là số nguyên , \(m \in \left[ {0;2023} \right] \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\} \cup \left\{ {9;10;...;2023} \right\}\): 2019 giá trị.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.