Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }},\forall x \in \left( { - \infty

Câu hỏi số 641167:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }},\forall x \in \left( { - \infty ;\dfrac{1}{3}} \right)\) và \(f( - 1) = \dfrac{2}{3}\). Biết \(F(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) thỏa mãn \(F( - 1) = 0\). Giá trị của \(F\left( {\dfrac{1}{4}} \right)\) bằng

A. \(\dfrac{4}{3}\).

B. \(\dfrac{{14}}{{27}}\).

C. \( - \dfrac{8}{{27}}\).

D. \(\dfrac{1}{{54}}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641167

Phương pháp giải

Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \), dựa vào giả thiết \(f\left( { - 1} \right) = \dfrac{2}{3}\) tìm hằng số C₁.

Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \), sử dụng điều kiện \(F\left( { - 1} \right) = 0\) tìm hằng số C₂.

Sử dụng bảng nguyên hàm: \(\int {\dfrac{1}{{\sqrt x }}dx} = 2\sqrt x + C\).

Giải chi tiết

Ta có \(f(x) = \int {\dfrac{1}{{\sqrt {1 - 3x} }}} \;{\rm{d}}x = - \dfrac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + {C_1}\).

Mà \(f( - 1) = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3}\sqrt {1 - 3( - 1)} + {C_1} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow {C_1} = 2\).

Khi đó \(f(x) = - \dfrac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + 2\).

Lại có \(F(x) = \int {\left( { - \dfrac{2}{3}\sqrt {1 - 3x} + 2} \right)} {\rm{d}}x = \int {\left[ { - \dfrac{2}{3}{{(1 - 3x)}^{\dfrac{1}{2}}} + 2} \right]} {\rm{d}}x = \dfrac{4}{{27}}{(1 - 3x)^{\dfrac{3}{2}}} + 2x + {C_2}\).

Mà \(F( - 1) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{27}}{(1 + 3)^{\dfrac{3}{2}}} - 2 + {C_2} = 0 \Leftrightarrow {C_2} = \dfrac{{22}}{{27}}\).

Vậy \(F(x) = \dfrac{4}{{27}}{(1 - 3x)^{\dfrac{3}{2}}} + 2x + \dfrac{{22}}{{27}} \Rightarrow F\left( {\dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{4}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.