Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữa nhật, \(AB = 2,AD = 2\sqrt 3 \), tam giác SAB cân tại S

Câu hỏi số 641175:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữa nhật, \(AB = 2,AD = 2\sqrt 3 \), tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC bằng 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD bằng

A. \(16\sqrt 3 \).

B. \(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}\).

C. \(24\sqrt 3 \).

D. \(8\sqrt 3 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641175

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB, chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Chứng minh \(d(AB,SC) = d[AB,(SCD)] = d[H,(SCD)]\).

Kẻ \(HK \bot SM\), chứng minh \(HK \bot \left( {SCD} \right)\).

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tính SH.

Tính thể tích khối chóp: \({V_{S \cdot ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{(SAB) \bot (ABCD)}\\{(SAB) \cap (ABCD) = AB}\\{SH \subset (SAB)}\\{SH \bot AB}\end{array}} \right\} \Rightarrow SH \bot (ABCD){\rm{; }}\)

Gọi \(M\) là trung điểm của CD, ta có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{CD \bot HM}\\{CD \bot SH}\end{array}} \right\} \Rightarrow CD \bot (SHM);CD \subset (SCD) \Rightarrow (SHM) \bot (SCD)\) theo giao tuyến SM;

Ta có \(AB//CD \subset (SCD) \Rightarrow AB//(SCD)\) \( \Rightarrow d(AB,SC) = d[AB,(SCD)] = d[H,(SCD)]\)

Kẻ \(HK \bot SM \Rightarrow HK \bot (SCD) \Rightarrow d[H,(SCD)] = HK\);

Ta có \(\Delta SHM\) vuông tại H, HK là đường cao nên \(\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{{12}} = \dfrac{1}{{36}} \Rightarrow SH = 6\)

Vậy \({V_{S \cdot ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \dfrac{1}{3}.2.2\sqrt 3 .6 = 8\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.