Cho các số phức w, z thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 + i}
Cho các số phức w, z thỏa mãn \(\left| {w + i} \right| = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{5}\) và \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right|\) bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\), tìm quỹ tích điểm M(x;y) biểu diễn số phức z.
Biến đổi \(P = MA + MB\), với \(A(1;2)\) và \(B(5;2)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng AB, tìm toạ độ điểm E, chứng minh E nằm ngoài (I).
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \(P = MA + MB \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} \). Biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi độ dài ME lớn nhất hay M, I, E thẳng hàng.
Gọi \(z = x + yi\,\,(x,y \in \mathbb{R})\) khi đó \(M(x;y)\) biểu diễn cho số phức \(z\).
Theo đề bài: \(5w = \left( {2 + i} \right)\left( {z - 4} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5\left( {w + i} \right) = \left( {2 + i} \right)z - \left( {8 - i} \right)\\ \Leftrightarrow \left| {5\left( {w + i} \right)} \right| = \left| {\left( {2 + i} \right)z - \left( {8 - i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {2 - i} \right)\left( {w + i} \right)} \right| = \left| {z - \left( {3 - 2i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z - \left( {3 - 2i} \right)} \right| = 3\end{array}\)
Suy ra \(M(x;y)\) thuộc đường tròn tâm \(I(3; - 2)\) và bán kính \(R = 3\).
Ta có
\(\begin{array}{l}P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right|\\\,\,\,\,\, = \left| {z - \left( {1 + 2i} \right)} \right| + \left| {z - \left( {5 - 2i} \right)} \right|\\\,\,\,\,\, = MA + MB\end{array}\)
với \(A(1;2)\) và \(B(5;2)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn thẳng AB \( \Rightarrow E(3;2)\) và \(IE = 4\) \( \Rightarrow \) E nằm ngoài \((I)\).
Khi đó ta có:
\(P = MA + MB \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} = \sqrt {2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right)} = \sqrt {4M{E^2} + A{B^2}} = \sqrt {4M{E^2} + 16} \)
Biểu thức \(P\) đạt giá trị lớn nhất khi độ dài ME lớn nhất hay M, I, E thẳng hàng.
Khi đó \(M{E_{\max }} = IE + IM = 7\) và \(\overrightarrow {IM} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {EI} \Rightarrow M(3; - 5)\).
Vậy biểu thức \({P_{\max }} = \sqrt {{{4.7}^2} + 16} = 2\sqrt {53} \) khi \(z = 3 - 5i\) và \(w = \dfrac{3}{5} - \dfrac{{11}}{5}i\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
