Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Câu hỏi số 641536:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và thỏa mãn \(xf'\left( x \right) + 2{x^2} = f\left( x \right) + 2{x^3},\) \(\forall x \ne 0,\,\,f\left( 1 \right) = 2\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) bằng

A. \(\dfrac{5}{4}\).

B. \(\dfrac{5}{2}\).

C. \(\dfrac{2}{3}\).

D. \(\dfrac{4}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641536

Phương pháp giải

Từ giả thiết \(xf'\left( x \right) + 2{x^2} = f\left( x \right) + 2{x^3}\) biến đổi và dùng phương pháp nguyên hàm hai vế để tìm f(x).

Tính f’(x) và giải phương trình hoành độ giao điểm: f(x) = f’(x).

Diện tích hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),\,\,y = g(x)\), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính theo công thức : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

Vì \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và thỏa mãn \(xf'\left( x \right) + 2{x^2} = f\left( x \right) + 2{x^3},\forall x \ne 0\).

\( \Rightarrow \) Với mọi \(x \ne 0\): \(xf'\left( x \right) - f\left( x \right) = 2{x^3} - 2{x^2}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{x}.f'\left( x \right) - \dfrac{1}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 2x - 2\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = 2x - 2\).

\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right)}}{x} = {x^2} - 2x + C\).

Mà \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \dfrac{2}{1} = 1 - 2 + C \Leftrightarrow C = 3\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 2{x^2} + 3x \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 3\)

Giải phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = f'\left( x \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - 2{x^2} + 3x = 3{x^2} - 4x + 3 \Leftrightarrow {x^3} - 5{x^2} + 7x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right)\) và \(y = f'\left( x \right)\) bằng

\(S = \int\limits_1^3 {\left| {{x^3} - 5{x^2} + 7x - 3} \right|dx} = - \int\limits_1^3 {\left( {{x^3} - 5{x^2} + 7x - 3} \right)dx} = \dfrac{4}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.