Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {w - 3 + i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \(\dfrac{w}{{z - 2}} = 1 + i\).

Câu hỏi số 641544:

Vận dụng cao

Cho các số phức z, w thỏa mãn \(\left| {w - 3 + i} \right| = 3\sqrt 2 \) và \(\dfrac{w}{{z - 2}} = 1 + i\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right|\) bằng

A. \(\sqrt {52} + \sqrt {55} \).

B. \(3 + \sqrt {134} \).

C. \(\dfrac{{29}}{2}\).

D. \(2\sqrt {53} \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641544

Phương pháp giải

Xác định tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z.

Sử dụng hình học để tìm giá trị lớn nhất của \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right|\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{w}{{z - 2}} = 1 + i \Rightarrow w = \left( {1 + i} \right)\left( {z - 2} \right)\\ \Leftrightarrow w - 3 + i = \left( {1 + i} \right)\left( {z - 2} \right) - 3 + i\\ \Leftrightarrow w - 3 + i = \left( {1 + i} \right)z - 5 - i\\ \Rightarrow \left| {w - 3 + i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 - i} \right| = 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {z - \dfrac{{5 + i}}{{1 + i}}} \right)} \right| = 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {z - \left( {3 - 2i} \right)} \right| = 3\sqrt 2 \end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {w - 3 + i} \right| = \left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)z - 5 - i} \right| = 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \left| {\left( {1 + i} \right)\left( {z - \dfrac{{5 + i}}{{1 + i}}} \right)} \right| = 3\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \left| {z - \left( {3 - 2i} \right)} \right| = 3\sqrt 2 \end{array}\).

\( \Leftrightarrow \left| {z - \left( {3 - 2i} \right)} \right| = 3\).

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn M của số phức z là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {3; - 2} \right),R = 3\).

Xét \(P = \left| {z - 1 - 2i} \right| + \left| {z - 5 - 2i} \right| = MA + MB\) (trong đó: \(A\left( {1;2} \right),B\left( {5;2} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức \(1 + 2i,5 + 2i\)).

Gọi H là trung điểm của AB.

MH là đường trung tuyến của tam giác ABM nên: \(M{H^2} = \dfrac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\).

\( \Leftrightarrow 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 4M{H^2} - A{B^2}\).

Mà \(2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) \ge {\left( {MA + MB} \right)^2}\).

\( \Rightarrow \)\({\left( {MA + MB} \right)^2} \le 4M{H^2} - A{B^2} \le 4{M_0}{H^2} - A{B^2} = const\).

(\({M_0}\) là giao của đường trung trực của đoạn thẳng AB và \(\left( C \right)\), và I nằm giữa H và \({M_0}\) (như hình vẽ)).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \equiv {M_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) (do \(IA = IB\)).

\( \Rightarrow MA + MB\,\,\max \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\left( {3; - 5} \right)\).

\( \Rightarrow {P_{\max }} = 2{M_0}A = 2.\sqrt {{2^2} + {7^2}} = 2\sqrt {53} \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.