Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng \(\left( P

Câu hỏi số 641545:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A(0;0;-3), B(2;0;-1) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 8y + 7z - 1 = 0\). Gọi C(a;b;c) là điểm có tọa độ nguyên thuộc (P) sao cho tam giác ABC đều. Tổng a + b + c bằng

A. \( - 7\).

B. 7.

C. \( - 3\).

D. 3.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641545

Phương pháp giải

Tam giác \(ABC\) đều \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C \in \left( P \right) \cap \left( Q \right)\\AC = AB\end{array} \right.\), trong đó: \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Giải chi tiết

Gọi (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.

Mặt phẳng (Q) đi qua trung điểm \(I\left( {1;0; - 2} \right)\) của AB và có 1 vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \left( {1;0;1} \right)\), có phương trình là:

\(1\left( {x - 1} \right) + 1\left( {z + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z + 1 = 0\).

Gọi d là giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}3x - 8y + 7z - 1 = 0\\\,x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + z\,\,\,\, + 1 = 0\end{array} \right.\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 1\\z = - 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0; - 1; - 1} \right) \in d\).

Và d có 1 vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow u = \dfrac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \dfrac{1}{4}\left( { - 8;4;8} \right) = \left( { - 2;1;2} \right) \Rightarrow d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2t\\y = - 1 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

Giả sử \(C\left( { - 2t; - 1 + t; - 1 + 2t} \right)\). Ta có: \(AC = AB \Leftrightarrow {\left( { - 2t} \right)^2} + {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {2t + 2} \right)^2} = {2^2} + {2^2}\).

\( \Leftrightarrow 9{t^2} + 6t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\).

\(t = - 1 \Rightarrow C\left( {2; - 2; - 3} \right)\): thỏa mãn \(a + b + c = - 3\).

\(t = \dfrac{1}{3} \Rightarrow C\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{1}{3}} \right)\): Loại.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.