Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 641548:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + mx + 16} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10;10} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2023\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\)?

A. 10.

B. 11.

C. 19.

D. 18.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:641548

Phương pháp giải

Xác định m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2023\) có đạo hàm \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \)\(\left( {5; + \infty } \right)\), (bằng 0 tại hữu hạn điểm).

Giải chi tiết

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2023\).

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + {x^3} - 2{x^2} + x = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + mx + 16} \right) + x{\left( {x - 1} \right)^2} = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + mx + 17} \right)\)

Nhận thấy rằng: \(x{\left( {x - 1} \right)^2} > 0,\forall x \in \)\(\left( {5; + \infty } \right)\).

Để \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{2}{x^2} + 2023\) đồng biến trên khoảng \(\left( {5; + \infty } \right)\) thì \(g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {5; + \infty } \right)\) (bằng 0 tại hữu hạn điểm).

\( \Leftrightarrow \) \({x^2} + mx + 17 \ge 0,\forall x \in \)\(\left( {5; + \infty } \right)\)(bằng 0 tại hữu hạn điểm).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} < {x_2} \le 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 68 \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 68 > 0\\\left( {{x_1} - 5} \right) + \left( {{x_2} - 5} \right) < 0\\\left( {{x_1} - 5} \right)\left( {{x_2} - 5} \right) \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt {68} \le m \le \sqrt {68} \\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {68} \\m < - \sqrt {68} \end{array} \right.\\{x_1} + {x_2} < 10\\{x_1}{x_2} - 5\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 25 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt {68} \le m \le \sqrt {68} \\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {68} \\m < - \sqrt {68} \end{array} \right.\\ - m < 10\\17 - 5\left( { - m} \right) + 25 \ge 0\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt {68} \le m \le \sqrt {68} \\\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {68} \\m < - \sqrt {68} \end{array} \right.\\m > - 10\\m \ge - \dfrac{{42}}{5}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \sqrt {68} \le m \le \sqrt {68} \\m > \sqrt {68} \\ - \dfrac{{42}}{5} \le m < - \sqrt {68} \end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{42}}{5}\).

Mà m là số nguyên, \(m \in \left[ { - 10;10} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 8; - 7;...;10} \right\}\): 19 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.