Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 4}} =
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 2}}{4} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 4}} = \dfrac{{z + 2}}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + 2z + 1 = 0\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua E(-2;1;-2), song song với (P) đồng thời tạo với d một góc bé nhất. Biết rằng \(\Delta \) có 1 vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {m;n;1} \right)\). Tính \(T = {m^2} - {n^2}\)?
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
\(\cos \left( {\Delta ;d} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} \overrightarrow {.{u_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\).
\(\Delta \)//\(\left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow u .\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = 0 \Leftrightarrow 2m - n + 2 = 0 \Rightarrow n = 2m + 2 \Rightarrow \)\(\overrightarrow u = \left( {m;2m + 2;1} \right)\) (*).
(Chú ý: \(E\left( { - 2;1; - 2} \right) \notin \left( P \right) \Rightarrow \forall \Delta \) thỏa mãn (*) đều không nằm trên (P), tức là luôn song song (P)).
\(\cos \left( {\Delta ;d} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow u } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|.\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\left| {4m - 8m - 8 + 3} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {3^2}} .\sqrt {{m^2} + {{\left( {2m + 2} \right)}^2} + {1^2}} }}\), trong đó: \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {4; - 4;3} \right)\) là 1 vectơ chỉ phương của d.
\( = \dfrac{{\left| {4m + 5} \right|}}{{\sqrt {41} .\sqrt {5{m^2} + 8m + 5} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {41} }}.\sqrt {\dfrac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}} \).
Xét hàm số \(f\left( m \right) = \dfrac{{16{m^2} + 40m + 25}}{{5{m^2} + 8m + 5}}\) có
\(\begin{array}{l}f'\left( m \right) = \dfrac{{\left( {32m + 40} \right)\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right) - \left( {10m + 8} \right)\left( {16{m^2} + 40m + 25} \right)}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 72{m^2} - 90m}}{{{{\left( {5{m^2} + 8m + 5} \right)}^2}}}\end{array}\).
\(f'\left( m \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow \cos \left( {\Delta ;d} \right) \in \left[ {0;\sqrt {\dfrac{5}{{41}}} } \right] \Rightarrow {\left( {\Delta ;d} \right)_{\min }} \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow n = 2 \Rightarrow \)\(T = {m^2} - {n^2} = - 4\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
