Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'(x) + 2xf(x) = x,\forall x \in

Câu hỏi số 642249:

Vận dụng

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'(x) + 2xf(x) = x,\forall x \in R\). Biết \(f(0) = \dfrac{3}{2}\) và \(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) - 1} \right)xdx} = a + \dfrac{b}{e}\), với a, b là các số hữu tỉ. Khi đó \(a + b\) bằng:

\(\dfrac{1}{2}\).

-1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:642249

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Nhân 2 vế của \(f'\left( x \right) + 2xf\left( x \right) = x\) cho \({e^{{x^2}}}\) ta được \({e^{{x^2}}}f'\left( x \right) + 2x{e^{{x^2}}}f\left( x \right) = x{e^{{x^2}}}\) Do đó

\({e^{{x^2}}}f'\left( x \right) + 2x{e^{{x^2}}}f\left( x \right) = x{e^{{x^2}}} \Rightarrow {\left( {{e^{{x^2}}}f\left( x \right)} \right)^{\rm{'}}} = x{e^{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow {e^{{x^2}}}f\left( x \right) = \smallint x{e^{{x^2}}}dx = \dfrac{1}{2}{e^{{x^2}}} + C\)

Thay \(x = 0\) vào (1) ta có \({e^0} \cdot f\left( 0 \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {e^0} + C \Rightarrow C = 1\) ta có được \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{2} + {e^{ - {x^2}}}\)

Xét \(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) - 1} \right)xdx} = \int\limits_0^1 {\left( {2\left( {\dfrac{1}{2} + {e^{ - {x^2}}}} \right) - 1} \right)xdx} = \int\limits_0^1 {2x{e^{ - {x^2}}}dx} = - \left. {{e^{ - {x^2}}}} \right|_0^1 = - \dfrac{1}{e} - \left( { - 1} \right) = 1 - \dfrac{1}{e} = 1 + \dfrac{{ - 1}}{e}\)

Do đó \(a = 1,{\rm{\;b}} = - 1\) nên \(a + b = 0\)

Chú ý khi giải

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

VIDEO - LỘ TRÌNH SUN - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD 2026 - 2K8

LIVE - LỘ TRÌNH 5V - ÔN LUYỆN ĐGNL, ĐGTD 2026 - 2K8

LỚP 12 - LUYỆN THI TN THPT - ĐH, ĐGNL & ĐGTD

Lớp 11

Lớp 10

NỀN TẢNG LỚP 9 - LUYỆN THI VÀO 10

Lớp 9 – Luyện thi vào 10 - 2023

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f'(x) + 2xf(x) = x,\forall x \in

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Hỗ trợ - Hướng dẫn